Si $A$ y $B$ son matrices tales que el $AB^2=BA$ y $A^4=I$ entonces encontrar $B^{16}$

Question

si $A$ $B$ son matrices tales que el$AB^2=BA$$A^4=I$, a continuación, Encontrar $B^{16}$

Mi Método:

Dado $$AB^2=BA \tag{1}$$ Post multiplying with $B^2$ obtenemos

$$AB^4=BAB^2=B^2A$$ De ahí

$$AB^4=B^2A$$ Pre Multiplying with $Un$ and using $(1)$ obtenemos

$$A^2B^4=(AB^2)A=BA^2$$ de ahí

$$A^2B^4=BA^2 \tag{2}$$ Now post multiplying with $B^4$ and using $(2)$tenemos

$$A^2B^8=B(A^2B^4)=B^2A^2$$ de ahí

$$A^2B^8=B^2A^2 \tag{3}$$

Ahora Pre Multiplicar con $B^2$ y el uso de $(3)$ tenemos

$$B^2A^2B^8=B^4A^2$$ $\implica$

$$A^2B^8B^8=B^4A^2$$

$$A^2B^{16}=B^4A^2$$

Ahora pre multiplicar con $A^2$ y el uso de $(2)$tenemos

$$A^4B^{16}=A^2B^4A^2$$ $\implica$

$$B^{16}=BA^4=B$$

¿hay algún otro método para solucionar esto?

Answer 1

$A^4=I$ implica que A es inversible. Por lo tanto, $B^2=A^{-1}BA$. Iterando esta facilidad da $B^{16}=B$.

Answer 2

$$B^2=A^4B^2=A^3BA.$ $, $$B^4=A^3BAA^3BA=A^3B^2A=A^2BA^2.$ $ Por lo tanto, $$B^8=A^2BA^2A^2BA^2=A^2B^2A^2=ABA^3$ $ y desde aquí $$B^{16}=ABA^3ABA^3=AB^2A^3=BA^4=B$ $

Answer 3

El % de relación $AB^2 = BA$permite para reducir el número de $B$s por uno. Con esta idea, podemos demostrar para cada % de potencia hasta $2n$, que tenemos que %#% $ #%

Aplicando esto y utilizando $$AB^{2n} = B^nA.$, podemos simplificar %#% $ #%

Cuando tiramos la primera $A^4 = I$, que la potencia media de $$B^{16} = A^4B^{16} = A^3B^8A = \ldots = B.$. Ahora debería ser fácil ver cómo seguir y por qué nos quedará con $A$ al final.

Tenga en cuenta que se utiliza básicamente la misma idea, sólo lo escondió detrás de varios pasos.