¿Se puede demostrar la no existencia de complementos absolutas sin usar el axioma de los sindicatos?

Question

En teoría determinada de Zermelo-Fraenkel, hay no hay sistema universal y para demostrar que usted necesita apenas de la teoría, sólo el axioma de la especificación.

También en ZF, ningún conjunto tiene un complemento absoluto, y que se desprende fácilmente la no existencia del conjunto universal y el axioma de los sindicatos.

Pregunta: ¿Podemos demostrar la no existencia de complementos absolutos en un subconjunto de ZF, sin el axioma de los sindicatos?

Answer 1

Los axiomas de la Vinculación y la Separación son suficientes para reproducir de la Paradoja de Russell indirectamente:

Supongamos por contradicción que hay$A \cup B = \mathbf V$$A\cap B=\varnothing$.

Deje $x\in\!\!\in y$ ser una abreviatura de $\exists z(x\in z\land z\in y)$ y considerar $$A' = \{x\in A\mid \neg(x\in\!\!\in x)\} \qquad B' = \{x\in B\mid \neg(x\in\!\!\in x)\}$$ y deje $P=\{A',B'\}$.

Suponer sin pérdida de generalidad que $P \in A$, $P\notin B$ (de lo contrario, simplemente cambie $A$$B$).

Ahora si $P\in A'$$P\in A'\in P$, lo $P$ no debería haber sido en $A'$.

Por lo tanto,$P\notin A'$, pero esto requiere que el $P\in\!\!\in P$, o en otras palabras $P$ es un elemento de uno de sus dos elementos. Pero sólo hemos concluido $P\notin A'$, e $P\notin B'$ porque $P\notin B$.

De cualquier manera tenemos una contradicción.

Answer 2

Sí; puede comprobar esto de sólo sincronización y regularidad. Supongamos que $X$ es un conjunto y el complemento $Y$ $X$ también es un conjunto. Por emparejamiento, $\{X\}$, $\{Y\}$, y $\{X,Y\}$ son conjuntos. Regularidad para $\{X\}$ dice que $X\not\in X$ y regularidad para $\{Y\}$ dice que $Y\not\in Y$. Desde $X$ y $Y$ son complementos, $X\in Y$ y $Y\in X$. Pero esto ahora viola regularidad $\{X,Y\}$.