Problema clásico cumpleaños dado vuelta en su cabeza: con $N$ de las personas, ¿cuántos suelen compartir cumpleaños más comunes?

Question

Tengo una oportunidad única para presentar a un grupo muy grande de personas ($2{,}000$ en una sala de teatro) acerca de cómo la casualidad funciona y cómo la intuición humana puede ser fuera de adivinar verosimilitud.

En lugar de presentar el clásico problema del cumpleaños a ellos (que se discute muchas veces muy bien en Matemáticas SE), quería tener alguna participación de la audiencia en lugar de ilustrar la cuestión de azar y la intuición humana en la respuesta más directa con ellos, formulando una serie de preguntas (ver más abajo) para llegar a la más común de cumpleaños en la que toda la audiencia y contar cuántas manos para que.

Si yo fuera a hacer esto, ¿cuántas personas son propensas a compartir que la mayoría de los comunes de cumpleaños?

Obviamente, las muchas permutaciones entre $2{,}000$ de la gente quiere decir que cada persona va a compartir muchos cumpleaños junto a muchas otras personas, y algunos cumpleaños será menos probable que otras, pero ¿a qué número puedo ver específicamente para que los más comunes? Usted puede tomar cualquier tipo de criterios de confianza que sería razonable, tales como un número mínimo a esperar con $50\%$ de certeza.

De esa manera, cuando sé que el día de exactamente cuántas personas están realmente asistir, puedo actualizar el final de adivinar correctamente, y por supuesto, la respuesta puede ser más universalmente aplicable a cualquier grupo de $N$ de las personas del mismo modo.

Edit: Ya que el número no es probable que va a ser muy alta, un seguimiento de la sugerencia que me gustó fue la cuestión "Dado que la respuesta, ¿cuántas fechas de nacimiento debo buscar a pedir, que $y$ personas levantan sus manos?"

A continuación, voy a ver que haciendo $10$ fechas se sobrepone $100$ de la gente, o $15$ pasa $300$ etc. y puedo conseguir que el número impresionante que estoy buscando.

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1. Para obtener la respuesta final, las preguntas que haría sería: "Cuyo cumpleaños es en la primera mitad del mes?" a continuación, la lista de los 6 meses, que parece para obtener más manos y escoger al ganador, entonces pide a aquellos "Cuya fecha de nacimiento es entre los días 1-10? 11-20? 21-28/30/31?", a continuación, pregunte a cualquiera de los 3 grupos tiene la mayoría de las manos "Es par o impar?" y, a continuación, la lista de los 4-6 opciones y contar uno por uno hasta tener un ganador. Voy a tener asistentes de todo el teatro para ayudar con el conteo. Te agradecería un comentario si hay una manera más eficiente de hacer esto que no sea confuso. (Edit: Ver comentarios, ya que esto en realidad no es tan eficaz como se pensaba, por lo que otras sugerencias son bienvenidos!)

2. Creo que este enfoque para un público tan numeroso sería el más eficaz, puesto que la intuición sin ninguna estadística que llevar a alguien a pensar que tendríamos $183$ a las personas a tener un $50/50$ de probabilidad de que dos comparten un cumpleaños y se sorprendió al oír es $23$, se podría aplicar la dirección opuesta y yo podría sugerir que desde $2000/365 = 5{.}47$, quizá $5$ o $6$ la gente iba a compartir la más común de cumpleaños para agregar más de un impacto, cuando vemos la respuesta real. Yo sólo podía elegir una fecha al azar o mi cumpleaños y ver el número de manos, pero creo que este "más comunes de cumpleaños" enfoque podría ser realmente eficaz.

Answer 1

El método para llegar a la más común compartido cumpleaños no funciona como se ha señalado por Bram28. Pero es fácil llegar a una estimación de la cantidad, utilizando el hecho de que, en promedio, cada día hay $\lambda = \dfrac{2000}{365}\approx 5.48$ cumpleaños. Nosotros, a continuación, aproximadamente tiene una distribución de Poisson para la probabilidad de tener $n$ cumpleaños en algún día:

$$P(n) = \frac{\lambda^n}{n!}\exp(-\lambda)$$

Esto significa que el número esperado de días con $n$ cumpleaños va a ser $\mu(n) = 365 P(n)$. El número de días con $n$ cumpleaños será, aproximadamente, distribuidos según la distribución de Poisson con una media de $\mu(n)$. Esto significa que para $n$ tal que $\mu(n) \geq \log(2)$, la probabilidad de que exista un día con $n$ cumpleaños será mayor o igual al 50%; esto significa que $n$ debe elegido para ser $13$ o menor.

Answer 2

No tengo ninguna respuesta a tu pregunta, pero quiero señalar que su método no puede encontrar la fecha con el cumpleaños más compartidos. Por ejemplo, supongamos que hay 10 personas que comparten el 10 de abril como su cumpleaños, y que ninguna otra fecha ha que muchos compartan cumpleaños. Sin embargo, ahora también Supongamos que 900 personas tienen su cumpleaños en los primeros 6 meses y 1100 en el segundo semestre...