7 amigos van a ir al cine. Se sentarán en una fila con 7 asientos. ¿Cuál es la probabilidad de que Juan y María no se sienten juntos?

Question

Para ver una película, Juan, María y 5 amigos se sentarán al azar en una fila de 7 asientos. Cuál es la probabilidad de que Juan y María no se sienten juntos?

$$(\mathbf A)\ \frac{2\times5!}{7!}\qquad(\mathbf B)\ \frac{5!}{7!}\qquad(\mathbf C)\ \frac27\qquad(\mathbf D)\ \frac57$$

Lo hice:

$$1-\left(6\cdot 2\cdot\left(\frac{2}{7}\cdot\frac{1}{6}\right)\right) = \frac{3}{7}$$

Pero mi libro dice que la solución es la D). He probado a no multiplicar por 2 y obtengo D), sin embargo no sé exactamente por qué el 2 está mal.

Puedes hacer 2 permutaciones con Mary(M) y John(J), MJ y JM.

Entonces si te imaginas a los 2 como un bloque de 2 asientos en los que se pueden sentar $^6C_1=6$ lugares.

¿Por qué mi libro no cuenta con esas 2 permutaciones de JM y MJ?

Answer 1

Si sientas a John primero, se sienta en el extremo con probabilidad $\frac 27$ entonces María tiene $\frac 56$ oportunidad de no sentarse junto a él, o se sienta en el centro con probabilidad $\frac 57$ y María tiene $\frac 46$ oportunidad de no sentarse a su lado. $$\frac 27 \cdot \frac 56+\frac 57 \cdot \frac46=\frac {30}{42}=\frac 57$$

En el resto de tu cálculo no estás considerando el orden, así que tampoco deberías hacerlo para JM.

Answer 2

Que Juan y María "reserven" un par de asientos. Hay ${7\choose2}=21$ pares posibles, $6$ de los cuales están uno al lado del otro. Así que si hacen una reserva al azar, la probabilidad de que acaben sentados separados es

$$1-{6\over{7\choose2}}=1-{6\over21}={5\over7}$$

Alternativamente, haz que John y los otros cinco se coloquen en una fila cerca de las sillas. Luego, antes de que nadie se siente, haz que María se una a ellos, insertándose entre dos personas o en uno de los dos extremos. Hay $7$ lugares en los que María puede insertarse, sólo $2$ de los cuales están al lado de Juan, por lo que la probabilidad de que María y Juan acaben sentados separados es $5/7$ . (Esta es esencialmente la misma respuesta en true blue anil's, en su mayoría sólo expresada en forma de historia).

Answer 3

$\dfrac{6\cdot5}{6\cdot7} = \dfrac57\quad$ Lógica ?

Representación de la $2$ "especiales" y el $5$ "otros" como bolas rojas / blancas respectivamente,

El primer rojo puede colocarse siempre en cualquier lugar de $6$ maneras con los blancos,
Por ejemplo ${\Large\circ\circ\circ\circ\color{red}{\bullet}\circ}$

pero dondequiera que se coloque, el segundo rojo sólo tiene $5$ plazas autorizadas
Por ejemplo $\;{\Large\uparrow\circ\uparrow\circ\uparrow\circ\uparrow\circ\color{red}\bullet\circ\uparrow}\;$ contra $7$ lugares no restringidos,

así $Pr = \dfrac{6\cdot5}{6\cdot7} = \dfrac57$

Answer 4

El número de vías con MJ o JM es $2 \cdot \,^6C_1 \cdot \,^5P_5$ .

El número total de vías es $\,^7P_7$ .

Por lo tanto, la probabilidad requerida es $$1 -\frac{2 \cdot 6 \cdot 5!}{7!} = 1 -\frac{2 \cdot 6!}{7!} = 1 - \frac{2}{7} = \boxed{\frac{5}{7}}$$

Answer 5

Ver las formas totales son $7! $ ahora dejemos $jm $ ser un tipo (no biológicamente) sólo asumir. Así que ahora tenemos el total $1+5=6$ formas. Ahora podemos ordenarlas como $6! $ y estas dos personas se pueden organizar dentro de sí mismas en $2! $ por lo que el total de formas en las que se sientan juntos son $2!.6! $ de ahí la probabilidad de que no se sienten juntos $=\frac {7!-2!6!}{7!}=1-\frac {2}{7}=\frac {5}{7} $