Igualdad de números racionales positivos, Parte 2

Question

Estoy leyendo este responder. Tengo algunas dudas que quiero aclarar.

Pregunta 1. El autor define un número racional $ \dfrac ab$ como, $$b \times\left ( \dfrac {a}{b} \right ) = a$$

Presume que $ \dfrac {a}{b}$ es una solución para $a=xb$ . Luego establece la definición de equivalencia de dos números racionales como:

También decimos que $ \dfrac {a}{b}$ es "la misma fracción" que $ \dfrac {c}{d}$ si y sólo si $ad=bc$ .

Después de esto da otras definiciones de suma, multiplicación y resta de números racionales. Afirmo que podría omitir la definición de equivalencia de los números racionales. El usuario Pgatti señaló que en mi versión anterior de esta pregunta la justificación de mi afirmación era incorrecta.

El usuario Pgatti me mostró una forma elegante de justificar mi reclamo. Aquí lo presento:

Necesitamos tres definiciones,

1. $ \dfrac {a}{1}=a$

2. $ \dfrac ab \times \dfrac cd = \dfrac {ac}{bd} $

3. $b \times \dfrac ab =a $

A partir de estas tres definiciones podemos probar que $ \dfrac ab = \dfrac cd $ iff $ad=bc$ . La prueba es:

Por definición 3, $$b \left ( \dfrac ab \right )=a $$ por definición 1, $$ \dfrac b1 \dfrac ab = a$$ por definición 2, $$ \dfrac {ba}b = a $$ Para $a=1$ que tenemos, $$ \dfrac bb =1= \dfrac 11 \tag {property 1}$$ Que cuatro números enteros positivos $a,b,c$ y $d$ de tal manera que $ad=bc$ . Ahora, $$ \dfrac ab = \dfrac ab \dfrac dd = \dfrac {ad}{bd} = \dfrac {bc}{bd} = \dfrac bb \dfrac cd = \dfrac cd$$

Así que hemos demostrado que " $ \dfrac ab = \dfrac cd$ si $ad=bc$ ".

Editar:

El usuario HTFB explicó en su respuesta que todavía tengo que mostrar cuando dos números racionales no son iguales. La prueba en la versión anterior era que $ \dfrac ab = \dfrac cd $ si $ad=bc$ --- la mitad del trabajo. Pero tengo que probar que $ \dfrac ab = \dfrac cd $ si y sólo si $ad=bc$ . La tarea que queda por hacer es demostrar que $ \dfrac ab \neq \dfrac cd $ si $ad \neq bc$ . He tratado de usar la prueba por contradicción, lo cual me parece satisfactorio.

Deje que $ad \neq bc$ y $ \dfrac ab = \dfrac cd$ ambas son verdaderas.

1. Dado que $a,b,c,d \in \mathbb {N}$ y tienen tales valores que $ad \neq bc$ .
2. Supongamos que $ \dfrac ab = \dfrac cd$ .

3. Lo hemos hecho, $ \dfrac {ad}{bc} \times bc=ad$ (Definición-3)

   $ \implies \dfrac ab \dfrac dc bc = ad$ (Definición-2)

   $ \implies \dfrac cd \dfrac dc bc = ad$

   $ \implies \dfrac {cd}{cd} bc = ad$

   $ \implies bc=ad$ . (Por la propiedad 1)

Hemos llegado a la contradicción de la declaración 1. Por lo tanto, la declaración 2 tiene que ser falsa, dado que la declaración 1 es verdadera. Así que ahora, hemos demostrado que si $ad \neq bc$ entonces $ \dfrac ab \neq \dfrac cd $ . Para cualquier número natural dado $a,b,c$ y $d$ sólo puede haber dos casos posibles, o bien $ad=bc$ o $ad \neq bc$ . Así que la única manera $ \dfrac ab$ puede ser igual a $ \dfrac cd$ es que $ad=bc$ de lo contrario $ \dfrac ab \neq \dfrac cd$ . Así que concluimos que:

$$ \dfrac ab = \dfrac cd \text { if and only if }ad=bc.$$

• Entonces, ¿podría el autor de esa respuesta omitir la definición de igualdad de números racionales?

Pregunta 2.

El autor de esa respuesta no define $ \dfrac a1 = a$ más bien lo afirma como un corolario de la definición, $b \dfrac ab = a$ . El razonamiento dado es que desde que $1 \times a=a$ y $1 \times \dfrac a1 = a$ así que $ \dfrac a1$ debe ser equivalente a $a$ .

• ¿Lo está haciendo correctamente? ¿La definición $b \left ( \dfrac ab \right ) = a$ implica $ \dfrac a1=a$ ? ¿No tenemos que definir $ \dfrac a1 = 1$

Pregunta 3.

Tengo una idea. La idea es que $ \dfrac rr = 1$ significa $ \dfrac rr = 1$ debería actuar como una identidad multiplicadora. Por ejemplo, en $1*t=t$ debería ser capaz de reemplazar una con $ \dfrac rr$ . Puedo hacer esto como: $$ \dfrac rr \times t = \dfrac rr \dfrac t1 = \dfrac {rt}{r1} = \dfrac {tr}{r1} = \dfrac tr \dfrac r1 = \dfrac tr r=t$$ . Así que cualquier número $ \dfrac rr$ actúa como una identidad multiplicadora.

• ¿Es este argumento suficiente para justificar que $ \dfrac rr=1$ ?

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P.D: Otra forma de mostrar que $ \dfrac cc =1$ es probar que $ \dfrac cc - 1$ es 0. Esto se puede hacer con la definición de la sustracción para los números racionales. La razón por la que esto puede hacerse es que la división es equivalente a la resta, por ejemplo. $ \left ( \dfrac {1}{c} \right ) c =1$ es equivalente a $c-c=0$

P.P.D.: Esta pregunta era parte de mi otra pregunta similar. Quería aislar esta pregunta de aquella para obtener una respuesta satisfactoria, por eso la he vuelto a hacer como una nueva pregunta.

Answer 1

Pregunta 1. Sí, tiene que definir sus relaciones. En particular, tus tres axiomas son consistentes con otro axioma " $\mathrm{frac}(a,b) = \mathrm{frac}(c,d)$ para todos $a,b,c,d$ : es decir que todas las fracciones son iguales entre sí.

Ninguno de sus axiomas dice nada sobre cuándo las fracciones son no igual. Así que necesitas algo otra cosa. El axioma propuesto $$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \text{ if and only if }ab=cd$$ lo hace en el sentido de "sólo si".

Hay otros problemas con sus axiomas. En particular, los números (1) y (3) mencionan los enteros como miembros de tu nueva clase de fracciones. Pero no lo son. En realidad, lo que quieres decir es que hay un mapeo de los enteros a las fracciones. También quieres que este mapeo sea 1-1, pero un axioma que lo diga equivale al sentido "sólo si" del que intentas evitar.

En efecto, si se axiomatiza la clase de las fracciones, también hay que decir que cada es de la forma $\mathrm{frac}(a,b)$ para algún par de enteros $a,b$ . En caso contrario, el anillo de los números reales, por ejemplo, satisface los axiomas.

Todo esto quedaría más claro si se mantiene un ojo en la distinción entre un definición y un axioma . Tu lista (1), (2), (3) es de axiomas, cosas que quieres que sean verdaderas en cualquier clase de fracciones como sea que se definan. Pero no definen por sí solos qué fracciones son . Con sólo sus axiomas no podemos mirar una cosa y decir "esto es una fracción" sin encontrar un anillo entero de todas las otras cosas que podrían ser fracciones y comprobar los axiomas (y los otros que necesita pero no ha enumerado). Pero con la definición "una fracción es un miembro de una clase de equivalencia de pares ordenados de enteros $(a,b)$ bajo la equivalencia $(a,b) \equiv (c,d) \text{ iff } ad = bc$ ", con sólo mirar el objeto único sabremos si es una fracción. ¿Es una clase de equivalencia? No, entonces no es una fracción. Sí, entonces lo es.

Pregunta 2. Creo que te has metido en un lío al escribir esto. No paras de decir " $\mathrm{frac}(a,1) = 1$ ", pero es evidente que se trata de un error tipográfico. Desgraciadamente, es muy difícil ordenar esto para que se vea lo que quiere decir. Pero tienes razón en que lo obvio es definir la incrustación $\pi$ de los enteros en las fracciones por $\pi(a) = \mathrm{frac}(a,1)$ que es lo que realmente estás haciendo con tu axioma (1), y no tratar de inferirlo de otra parte.