Resuelve sin calculadora: ¿Cuál es el valor posible de 2*((1+1/100)^100)?

Question

¿Cuál es el valor posible de $2·((1+\tfrac{1}{100})^{100})$?

Google dará $2·((1+\tfrac{1}{100})^{100}) = 5.40962765884$.

¿Cómo puedo encontrar el valor posible sin Google o una calculadora?

¿Cómo puedo resolver una ecuación como $(x^{100})$ o $(x^{20000})$?

¿O como $(1.01^{100})$?

Answer 1

Sugerencia: ¿Sabías acerca del límite que $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$

Answer 2

Para calcular $(1+\frac1{100})^{100}$ con un error $<10^{-4}$, expanda: $$\left(1+\frac1{100}\right)^{100} =1+100\frac1{100}+{100\choose 2}\frac1{10000}+\ldots$$ hasta que note que los sumandos caen por debajo de un umbral adecuado (lo cual debería ocurrir en ${100\choose 8}\frac1{10^{16}}$).

Answer 3

Cuando te enfrentas a situaciones como $(x+1)^n$ donde $x$ es pequeño, puedes usar el teorema del binomio para unos cuantos términos. En tu caso donde $n=100$, los primeros términos son $$1+100 x+4950 x^2+161700 x^3+3921225 x^4+75287520 x^5$$ Si reemplazas $x$ por $\frac{1}{100}$, verás que los términos sucesivos contribuyen menos y menos. Usando estos términos, el valor de la expresión anterior es $2.70344$ y el doble de este número lleva a $5.40688$ que es muy cercano al valor exacto $5.40963$.

Pero, al ir a valores muy grandes, recuerda lo que escribió Trafalgar Law.

Answer 4

Me gustaría ir de la siguiente manera:

Sea $y=2(1+\frac{1}{100})^{100}$, entonces $\mathrm{ln}(y)=\mathrm{ln}(2)+100\mathrm{ln}(1.01)$. Una expansión de Taylor de primer orden alrededor de $\mathrm{ln}(1.01)$ es bastante precisa y igual a $\mathrm{ln}(1)+1*(1.01-1)=0.01$. Por lo tanto, $\mathrm{ln}(y)=\mathrm{ln}(2)+100*0.01=\mathrm{ln}(2)+1=\mathrm{ln}(2)+\mathrm{ln}(e)=\mathrm{ln}(2e)$. Finalmente, deshacer la transformación en ambos lados para obtener $y=2e$.