Con el fin de simplificar la notación, establezca $A_{jk}=\langle x_k,x_j\rangle$ lugar. Desde $A$ es Hermitian, realmente no importa. Si usted insiste en el uso de "su" $A$, simplemente reemplace $A$ $\bar{A}$ en todas partes.
Deje $y:=[\eta_1,\ldots,\eta_n]^T$ denotar un vector en $\mathbb{C}^n$.
Deje $x_1,\ldots,x_n$ es linealmente dependiente. Luego de algunos $y\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$, $\eta_1x_1+\cdots+\eta_nx_n=0$. La fabricación de productos con $x_j$ da
$$
\eta_1\langle x_1,x_j\rangle+\cdots+\eta_n\langle x_n,x_j\rangle=0,
\quad j=1,\ldots,n,
$$
que es equivalente a $Ay=0$. Desde $y\neq 0$, se deduce que el $A$ es singular.
Tenga en cuenta que
$$\tag{$*$}\langle\eta_1x_1+\cdots+\eta_nx_n,\eta_1x_1+\cdots+\eta_nx_n\rangle
=\sum_{i,j=1}^n\eta_i\bar{\eta_j}\langle x_i,x_j\rangle=y^*Ay$$
es cero si y sólo si $\eta_1x_1+\cdots+\eta_nx_n=0$ (debido a que el lado izquierdo de ($*$) es el cuadrado de la norma inducida por el producto interior).
Si $A$ es singular, de nuevo, es distinto de cero $y$ tal que $Ay=0$. Por lo tanto, $y^*Ay=0$ y el uso de ($*$) se deduce que $x_1,\ldots,x_n$ son linealmente dependientes.
