¿Cómo es un conjunto compacto?

Question

Así que para una tarea de escritura en una de mis clases se nos pide que discutamos y probemos algunos resultados básicos sobre conjuntos compactos en espacios topológicos generales. Me gusta probar estas cosas, pero no me ayudan a entender cómo se ve un conjunto compacto (localmente compacto, paracompacto,...) en un espacio topológico. Dicho esto, estoy pidiendo algunos ejemplos de conjuntos compactos (localmente compactos,...) en una variedad de espacios topológicos. También estoy interesado en alguna explicación de los "beneficios" adicionales que se obtienen al destacar estos conjuntos compactos. Por ejemplo, los números p-ádicos son localmente compactos y las cosas localmente compactas (grupos abelianos para ser precisos) son un buen escenario para llevar a cabo análisis de Fourier.

Answer 1

Podrías intentar leer Las notas de Terence Tao sobre el tema; los encontré muy informativos.

En cuanto a los ejemplos, aquí hay un ejemplo y un no-ejemplo que creo que son informativos. El ejemplo es que, según el teorema de Tychonoff, $[0, 1]^I$ es compacto para cualquier conjunto de índices $I$ . El no-ejemplo es que la bola de la unidad cerrada en cualquier espacio de dimensión infinita de Banach, digamos $ \ell_1 ( \mathbb {Z})$ es no compacto.

Editar: Aquí hay otra perspectiva desde la cual pensar sobre la compactación Hausdorff (y espacios LCH). Un espacio compacto de Hausdorff $X$ está completamente determinado por el anillo de funciones continuas $C(X, \mathbb {R})$ Este es un ejercicio estándar que se trabaja, por ejemplo, aquí . Uno obtiene los puntos de $X$ como los ideales máximos de $C(X, \mathbb {R})$ y la topología como la topología inicial que hace que cada función en $C(X, \mathbb {R})$ continua. Ligeramente generalizado, este es el teorema conmutativo de Gelfand-Naimark y dice que estudiar las algas C* conmutativas con unidad es lo mismo que estudiar los espacios compactos de Hausdorff. Eliminar el requisito de que tengamos una unidad es lo mismo que estudiar los espacios compactos de Hausdorff.

Así que uno puede anotar los espacios compactos de Hausdorff anotando las algas C* conmutativas con la unidad. Una opción es tomar el espacio $C_b(X, \mathbb {R})$ el espacio de funciones continuas delimitadas en un espacio topológico arbitrario $X$ con la norma sup. Si $X$ es completamente regular Hausdorff, esto le da a la Compactación de Stone-Cech de $X$ . (Lo que es desesperante pensar en general; incluso para $X = \mathbb {N}$ es muy raro, como describe el artículo de Wikipedia).

Answer 2

No sé si entiendo su pregunta, pero aquí hay algunos ejemplos elementales de espacios compactos y no compactos. Puede encontrar más ejemplos en Wikipedia .

1. $[0,1]$ es compacta con la topología subespacial de la habitual topología euclidiana en $ \mathbb {R}$ .
2. Ni $(0,1)$ ni $ \mathbb {R}$ son compactos con la misma topología.
3. Un conjunto con un número finito de puntos $A \subset \mathbb {R}$ siempre es compacto. De hecho, siempre es compacto, sin importar la topología.
4. Con la topología habitual en $ \mathbb {R}^n$ , $A \subset \mathbb {R}^n$ es compacta si y sólo si está limitada y cerrada. Cuidado: esta caracterización de la compacidad ya no es válida para espacios métricos arbitrarios: por ejemplo, con la métrica delimitada $d(x,y) = \mathrm {min} \left\ { \| x-y\|,1 \right\ }$ (que equivale a la euclidiana), cada subconjunto $A \subset \mathbb {R}^n$ incluso la totalidad de la $ \mathbb {R}^n$ está limitado. De modo que si la caracterización anterior seguía siendo cierta con esta métrica, cada subconjunto cerrado de $ \mathbb {R}^n$ ( $ \mathbb {R}^n$ (incluido él mismo) sería compacto.
5. Este conjunto contable $ \left\ { \frac {1}{n}\ \vert \ n \in \mathbb {N} \right\ } \cup \left\ { 0 \right\ } \subset \mathbb {R}$ es compacto (con la topología habitual).
6. Este conjunto contable $ \left\ { \frac {1}{n}\ \vert \ n \in \mathbb {N} \right\ } \subset \mathbb {R}$ no es compacto (con la topología habitual).
7. Este conjunto contable $ \mathbb {N} \subset \mathbb {R}$ no es compacto (con la topología habitual).
8. Con el topología de complemento finito , $ \mathbb {R}$ es compacto. De hecho, con esta topología en la línea real, cada subconjunto $A \subset \mathbb {R}$ es compacto. De hecho, cada espacio topológico con la topología de complemento finito es compacto.
9. $ \mathbb {Q}$ no está compacta con la topología subespacial de la habitual topología euclidiana en $ \mathbb {R}$ .
10. Por otra parte, el conjunto vacío siempre es compacto.