Estoy tomando un curso de teoría número corto este verano. El primer tema que cubrió fue la identidad de producto triple de Jacobi. No tengo ningún sentido de por qué esto es importante, cómo surge, cómo se podría haber descubierto, etc.. La prueba que hemos estudiado es un poco en el lado inteligente para mi gusto, me que no dijo el sentido de cómo prueba podría se han descubierto que. ¿Puede alguien ayudarme?
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La apreciación completa de Jacobi de la triple identidad del producto no puede realizarse sin una cierta comprensión de las funciones elípticas. Sin embargo, es posible desarrollar algunas partes de la teoría de funciones elípticas sin ningún tipo de complejos análisis.
De todas formas de nuevo a la triple identidad del producto, se dice que
$$ \sum_{n = -\infty}^{\infty}z^{n}q^{n^{2}} = \prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{2n})(1 + zq^{2n - 1})(1 + z^{-1}q^{2n - 1})$$
Este es un sistema altamente no obvia la identidad que representa la igualdad de una serie con un producto y para un principiante podría ser muy difícil de establecer. Una de las razones por las que creo que es importante es que puede ser utilizado para probar muchas identidades diferentes que tienen muy agradable y sorprendente aplicaciones. Voy a dar un ejemplo famoso aquí.
Si reemplazamos $q$ $q^{3/2}$ $z$ $-q^{1/2}$ entonces tenemos
$$ \prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{3n})(1 - q^{3n - 1})(1 - q^{3n - 2}) = \prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{n}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{(3n^{2} + n)/2}$$
Este es el de Euler, la famosa Pentagonal teorema de la cual se obtiene multiplicando el producto con la mano para obtener primeros términos de la serie y, a continuación, supuso que el patrón de los exponentes en la serie como $(3n^{2} + n)/2$. Pero le tomó algunos años para demostrar la identidad.
Esto puede ser usado para evaluar las particiones de un entero positivo. Si $n$ es un entero positivo y $p(n)$ indica el número de particiones de $n$ (es decir, el número de maneras en que $n$ puede ser expresado como suma de enteros positivos sin tomar en cuenta el orden de los sumandos), a continuación, puede demostrarse fácilmente que
$$1 + \sum_{n = 1}^{\infty}p(n)q^{n} = \frac{1}{{\displaystyle \prod_{n = 1}^{\infty}(1 - q^{n})}} = \frac{1}{{\displaystyle \sum_{n = -\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{(3n^{2} + n)/2}}}$$
así que
$$ \left(1 + \sum_{n = 1}^{\infty}p(n)q^{n}\right)\sum_{n = -\infty}^{\infty}(-1)^{n}q^{(3n^{2} + n)/2} = 1$$
Igualando los coeficientes de $q^{n}$ obtenemos la fórmula recursiva para $p(n)$
$$ p(n) = p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) + p(n - 12) + p(n - 15) - \cdots$$
cual es la forma más sencilla posible calcular el número de particiones de un entero positivo. Esta es una de las aplicaciones de Jacobi de la triple identidad del producto que puede ser entendido sin referencia alguna al análisis complejo o elíptica teoría de la función.
Dennis
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Voy a tratar de dar un algo elemental motivación que creo que para estar cerca de cómo esta identidad se descubrió.
Consideremos la función seno de $f(z)=\sin z$.
Como una función de un argumento complejo, tiene un período de: $f(z+2\pi)=f(z)$. Además, es holomorphic en todo el plano complejo con sólo simples ceros dado por $\pi\mathbb{Z}$.
Cuenta con un (finito) exponencial de la serie de la representación $$f(z)=\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right).\tag{1}$$
Tiene una infinita representación de los productos $$f(z)=z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^2}{\pi^2 n^2}\right).\tag{2}$$
Tenga en cuenta que la representación (2) casi de la siguiente manera a partir de la analítica de las propiedades de $f(z)$ por el teorema de Liouville-tipo de argumentos ("casi" se debe a la necesidad de controlar el infinito punto).
Ahora una generalización natural de (2) viene cuando tratamos de construir doblemente funciones periódicas. Teorema de Liouville prohíbe a tales funciones, siendo holomorphic, por lo tanto, uno puede ir en dos direcciones:
Permitir a los polos y mantener la doble periodicidad; esto conduce a Weierstrass elíptica de la función.
Mantener las funciones holomorphic en el precio de relax periodicidad; esto llevará a Jacobi funciones theta.
Elijamos a la 2ª dirección. El más simple generalización de (2), obtenido por más de periodización, es $$\vartheta_A(z)=\sin z\prod_{n=1}^{\infty}\left(\cos2\pi n\tau-\cos2z\right).\tag{3}$$ Ingenuamente, la función de $\vartheta_A(z)$ es doblemente periódica y sencilla ceros en $\pi\mathbb{Z}+\pi\tau\mathbb{Z}$. Sin embargo, hay un problema - el producto en (3) es muy mal definidos. Esto puede ser curado por multiplicar por otro mal definido producto independiente de $z$ para obtener una bien definida la cantidad $$\vartheta_{B}(z)=\sin z\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-2q^{2n}\cos2z+q^{4n}\right),\tag{4}$$ con $q=e^{i\pi\tau},\tau\in \mathbb{H}$. El precio a pagar por el bien definedness es la pérdida de la doble periodicidad: a pesar de que todavía tenemos $\vartheta_{B}(z+\pi)=-\vartheta_{B}(z)$, el segundo período ya no es verdadero: $$\vartheta_{B}(z+\pi\tau)=-q^{-1}e^{-2iz}\vartheta_{B}(z).\tag{5}$$
Así, una vez más, (4) define un holomorphic casi el doble función periódica teniendo simple ceros en $\pi\mathbb{Z}+\pi\tau\mathbb{Z}$. Este es un análogo de (2). Ahora la pregunta es: ¿cuál es la analógica correspondiente de (1)?
La respuesta se obtiene con relativa facilidad. Considere la función $$\vartheta_{C}(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}(-1)^n q^{(n+1/2)^2}e^{i(2n+1)z}.\tag{6}$$ Es sencillo comprobar que esta función tiene la misma periodicidad de las propiedades como $\vartheta_{B}(z)$: $$\vartheta_{C}(z+\pi)=-\vartheta_{C}(z),\qquad \vartheta_{C}(z+\pi \tau)=-q^{-1}e^{-2iz}\vartheta_{C}(z).\tag{7}$$ Ambas funciones son impares y, en particular, se desvanecen en $z=0$. Además, $\vartheta_{C}(z)$ tiene exactamente un cero (como $\vartheta_{B}(z)$) dentro de la fundamental paralelogramo. La última propiedad es obtenido mediante la integración de $\vartheta_{C}'(z)/\vartheta_{C}(z)$ por encima de su límite y el uso de quasiperiodicity (para holomorphic funciones, el resultado debe ser igual al número de ceros en el interior del paralelogramo fundamental cuentan con sus multiplicidades).
Ahora, ya tenemos dos funciones con el mismo número de ceros y la misma quasiperiodicity propiedades, sólo pueden ser proporcional a causa de teorema de Liouville: $$\vartheta_{B}(z)=c(q)\cdot \vartheta_{C}(z).\tag{9}$$ Pero, si recordamos (4) y (6), esto no es nada, pero el triple de Jacobi de la identidad del producto - sólo queda solucionar el $z$independiente del coeficiente de $c(q)$. En otras palabras, esta identidad surge por la comparación de dos maneras naturales (de forma análoga a (1) y (2)) de escribir un doble-(cuasi)función periódica. En realidad, $\vartheta_{B,C}(z)$ son proporcionales a la Jacobi theta función de $\vartheta_1(z,q)$.
