Teorema de la función implícita en dimensiones superiores

Question

La siguiente función es: $$f:\Bbb R^3 \rightarrow \Bbb R^2, \left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\\ \end{matrix}\right) \mapsto \left(\begin{matrix}-2x^2 + y^2 + z^2 \\ x^2+e^{y-1} - 2y \end{matrix}\right)$$

La primera tarea es determinar si la función puede ser resuelto en términos de $y$ $z$ en el punto de $(1, 1, 1)^T$, cuando se $f = (0, 0)^T$. Debe ser esto posible, la siguiente tarea será la de calcular la derivada en el citado punto.

Intento de solución:

$f\left(\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1\\ \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 0 \\ 0\\ \end{matrix}\right)$ es clara.

Calcular el determinante de la siguiente matriz Jacobiana $$\left| \begin{matrix} \frac{\partial f_1(1,1,1)}{\partial y} && \frac{\partial f_1(1,1,1)}{\partial z} \\ \frac{\partial f_2(1,1,1)}{\partial y} && \frac{\partial f_2(1,1,1)}{\partial z}\end{matrix}\right|,$$where $f_1(x,y,z)=-2x^2 + y^2 + z^2$, $f_2(x,y,z)=x^2+e^{y-1} - 2y$.

Por lo tanto, tenemos$$\left| \begin{matrix} 2y^2 && 2z^2 \\ e^{y-1}-2 && 0 \end{matrix}\right|_{(1,1,1)}=\left| \begin{matrix} 2 && 2 \\ -1 && 0 \end{matrix}\right|=2 \neq 0$$

Por lo tanto, por el teorema de la función implícita, existen abrir los vecindarios $U\subseteq \Bbb R$ $V\subseteq \Bbb R^2$ $1\in U$ $(1,1)^T \in V$ y continuamente una función derivable $g:U \rightarrow V$ tal que para todos los $(x,y) \in U \times V$ el siguiente se tiene:$$f(x,y) = 0 \iff y=g(x)$$

Es la siguiente tarea que no estoy 100% seguro. Necesito calcular el parcial de $f$ w.r.t. $y$ y, a continuación, de nuevo w.r.t. $z$? ¿Cómo se hace esto?

Answer 1

Supongamos que usted sabe que $x = 9/10$ (un número representativo cerca de $x = 1$, es decir, un candidato para un elemento de $U$). Entonces si $f(x, y, z) = 0$, ¿qué sabe usted acerca de la $y$$z$? A partir del segundo semestre, usted sabe que $$ (9/10)^2+e^{y-1} - 2y = 0\\ 0.81 + e^{y-1} - 2y = 0 $$ Si usted está dispuesto a adivinar que la solución para $y$ es cerca de $1$, se puede aproximar $e^{y-1}$ $1 + (y-1)$ (los dos primeros términos de la serie de Taylor) para convertir a este $$ 0.81 + (1 + (y-1)) - 2y \aprox 0 \\ 0.81 \aprox y $$ por lo tanto determinar el $y$ a partir de un valor conocido de $x$.

Más generalmente, se puede ver que no hay una solución única para $y$: la de una dimensión implícita teorema del valor aplicado a $f_2(x, y)$ cerca del punto de $(x, y) = (1, 1)$ dice que es así, ya que $\frac{\partial f_2}{\partial y} (1, 1) = -1$, como ya calculada. Así que hay una función de $h$, definida en una vecindad $U$$x = 1$, con la propiedad de que $$ f_2(x, h(x)) = 0 $$ para $x \in U$.

Ahora continuando con el ejemplo, a sabiendas de $x = 9/10$ $y \approx 0.81 $ , mire el primer plazo: desde el que se puede resolver para $z$. Va a ser una raíz cuadrada de algún tipo, y uno de los dos raíces cerca de los $+1$ y el otro cerca de $-1$, de modo que usted escoja el $+1$ raíz.

Continuando con el análisis general en lugar de la única instancia, tenemos que $h(x)$ es un número tal que $x^2 + e^{h(x) - 1} - 2h(x) = 0$ ($x$ cerca de $0$); a continuación, podemos construir la función requerida $g$ a través de

$$ g(x) = \begin{bmatrix} h(x) \\ \sqrt{2x^2 - h(x)^2} \end{bmatrix} $$

¿Eso ayuda? El hecho de que usted no puede escribir explícitamente $h$ no es un problema, usted sabe de la 1D teorema de la función implícita que existe.