Dejemos que $K$ sea un campo y $A$ un afín $K$ -Álgebra. Demuestre que $A$ tiene dimensión (Krull) cero (es artiniano) si y sólo si es de dimensión finita sobre $K$ .
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- Atiyah-Macdonald Ex8.3: Artinian iff finito k-álgebra (2 respuestas )
Respuesta
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Jeff
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Las álgebras de dimensión finita (como espacio vectorial) son de dimensión cero: Utilizando los cocientes, basta con demostrar que todo dominio de dimensión finita es un campo. Pero esto es estándar: El mapa de multiplicación por un elemento no nulo es inyectivo, y por tanto también suryectivo.
Si $A$ es una dimensión cero generada finitamente $k$ -entonces es artiniana, e incluso podemos suponer que $A$ es local, digamos que con ideal máximo $\mathfrak{m}$ . Ahora trata de demostrar que cada $\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ es de dimensión finita. Como $\mathfrak{m}$ es nilpotente, esto demuestra que $A$ es de dimensión finita (como $k$ -espacio vectorial).
