Dar un límite indeterminado de una función que siempre es indeterminado con intentos iterados de la Regla de l'Hopital.

Question

Estoy repasando cálculo diferencial, y se me ocurrió un experimento mental en el contexto de usar la regla de l'Hôpital.

¿Existe un límite de una función que siempre dará una forma indeterminada sin importar cuántas veces se diferencien el numerador y el denominador?

Los que respondan pueden elegir cualquier valor al que se acerque, y cualquier función. Las funciones de una y de varias variables están bien. Tampoco me importa qué formas indeterminadas estén involucradas.

Answer 1

Aquí hay un límite bastante trivial:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^x}=1$$

pero es bastante obvio que la regla de L'Hôpital no nos llevará a ningún lado.

En general, la regla de L'Hôpital no funcionará si el cociente de las derivadas es cíclico, básicamente se repite a sí mismo.

Answer 2

$$\lim_{x\to\infty}\tanh x = \lim_{x\to\infty} \frac{\sinh x}{\cosh x}=\lim_{x\to\infty} \frac{\exp(x)-\exp(-x)}{\exp(x)+\exp(-x)} =\lim_{x\to\infty} \frac{\exp 2x-1}{\exp 2x+1}$$

L'Hôpital termina siendo bastante inútil para las 3 expresiones, cayendo en un bucle para la 2da y 3ra expresiones, y no simplificando en absoluto para la 4ta.

Nota adicional: Tomar la segunda expresión y aplicar la sustitución $u=\sinh x$ da como resultado el límite descrito en un comentario de David Mitra, a saber $$\lim_{u\to\infty}\frac{u}{\sqrt{u^2+1}}$$

que también cae en un bucle de período 2.