Problema de álgebra - trazos y normas

Question

Esta pregunta:

Supongamos que $F$ tiene $p$ distinto $p$ las raíces de $1$ , $p$ un primo, y $E|F$ es cíclico de dimensión $p^f$ . Dejemos que $z$ ser un primitivo $p$ raíz de $1$ . Demuestre que si $E|F$ puede estar inmerso en un campo cíclico $K|F$ de dimensión $p^{f+1}$ entonces $z = N_{E|F}(u)$ para alguna u $\in E$ .

está en el libro Álgebra Básica, Jacobson. $N_{E|F}(u)$ es la norma de u (Si $E|F$ es Galois entonces la norma de $u$ es $\prod_{\phi \in Gal(E|F)} \phi_i (u)$ ). ¿Alguien puede dar una pista sobre cómo resolverlo? Por ejemplo, ¿cuál sería una buena manera de demostrar que un elemento de $E$ ¿es norma de algún otro elemento?

Answer 1

Gracias por la oportunidad de desempolvar algunas telarañas y refigurar esto :-)

Tratando de escribir esto como una especie de pista. Empecemos por resolver el caso simple, en el que $p=2$ , $f=1$ . Sea $\sigma$ sea un generador del grupo de Galois $Gal(K/F)\simeq C_4$ . Por correspondencia de Galois sabemos que $E$ es el campo fijo de $\tau=\sigma^2$ . Ahora suponemos que $z=-1\in F$ ( $z\neq1$ por lo que excluimos el caso de la característica dos). También sabemos que tenemos extensiones de la torre de la raíz hasta el final. En particular, tenemos $K=E(w)$ , donde $w^2=v\in E$ . Porque $\tau(w)\neq w$ y $$v=\tau(v)=\tau(w^2)=(\tau(w))^2,$$ podemos deducir que $\tau(w)=-w=zw$ .

Considere el elemento $u=w/\sigma(w)$ .

• Vemos que $u\in E$ . Esto se debe a que $\tau$ y $\sigma$ conmutan, y por lo tanto $$\tau(u)=\tau(\frac w{\sigma(w)})=\frac{\tau(w)}{\sigma(\tau(w))}=\frac{-w}{-\sigma(w)}=u.$$
• También sabemos que la restricción de $\sigma\vert_E$ a $E$ genera el grupo de Galois $Gal(E/F)$ . Por lo tanto, $$N_{E/F}(u)=u\sigma(u)=\frac w{\sigma(w)}\cdot\frac{\sigma(w)}{\sigma^2(w)}=\frac{w}{\tau(w)}=-1=z.$$

Su tarea consiste en generalizar esta construcción. En el caso general puedes deducir de forma similar que:

• El campo $E$ es el campo fijo de $\tau=\sigma^{p^f}$ , donde $\sigma$ es un generador de $Gal(K/F)$ .
• También tiene $K=E(w)$ con $w^p=v\in E$ .
• Sustituyendo $\sigma$ con su potencia adecuada (exponente coprimo a $p$ ) puede disponer que $\tau(w)=zw$ .

Buena suerte.

Moraleja: La relación de conjugados siempre tiene norma $1$ . Pero con una relación de conjugados procedentes de un campo de extensión obtenemos algo casi tan bueno, y podemos usarlo aquí. Esto se puede reescribir en lenguaje cohomológico, pero no soy la persona adecuada para describir todo eso.