¿Cómo mostrar que un punto no es un punto interior?

Question

Entiendo que para demostrar que un punto, $x$, es un punto interior de algún conjunto $A \subset B$, donde $(B,d)$ es un espacio métrico, solo necesitas demostrar que puedes tener una bola abierta alrededor de $x$ que esté contenida en $A$.

Hoy me hicieron una pregunta, lo que mostró que realmente no entiendo lo que es un punto interior.

Sea $X=(\mathbb{Q}\cap[0,3])$ un espacio métrico. Defina $Y=\{y \in\mathbb{Q}:2\leq y \leq 3\}$

¿Es $2$ un punto interior de $Y$?

Creo que no lo es. La única forma que se me ocurrió para intentar probar esto es tomando una bola abierta arbitraria que esté contenida en $Y$ y mostrar que 2 no puede estar dentro de ella. Sin embargo, esto parece ser demasiado trabajo. ¿Existe quizás una forma más corta de pensar y demostrar esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que una bola abierta de radio $\varepsilon$ alrededor de $2$ es de la forma $(2-\varepsilon,2+\varepsilon)\cap\mathbb{Q}\cap [0,3]$. Para cualquier $\varepsilon>0$, tome un punto racional $q\in\mathbb{Q}\cap [0,3]$ con $2-\varepsilon

Answer 2

Si estás preguntando: punto interior de $Y$ con respecto a la topología de $X$, la respuesta es no.

Una prueba por contradicción es una buena idea.

Entonces asumamos que hay un $r>0$ tal que $$ \{y\in X \;;\; |y-2|

Por la densidad de los racionales, podemos encontrar un $y$ racional en $(2-r,2)\cap [0,3]$.

Este número estará en el conjunto de la izquierda, pero no en el conjunto de la derecha.

Contradicción.

Answer 3

Desde un punto de vista técnico, la pregunta es imposible de responder tal como la has citado, ya que no especifica la métrica en $X$. Sin embargo, parece razonable suponer que se quiere equipar a $X$ con la métrica euclidiana usual $d(a,b) = |a-b|, en cuyo caso la respuesta es "No."

Para demostrar esto, observa que cada bola abierta en $X$ centrada en $2$ tiene la forma $(2-r,\, 2+r) \cap X$ para algún número real positivo $r$, y por lo tanto contiene el conjunto no vacío $(2-r,\, 2) \cap X$ que es disjunto con $Y$. Por lo tanto, $Y$ no contiene ninguna bola abierta centrada en $2$ en $X$, y por lo tanto $2$ no es un punto interior de $Y$ en $X.

Nótese que, según la definición que has citado al principio de tu publicación, solo necesitamos examinar bolas abiertas centradas en $2$. Sin embargo, si prefieres, es fácil extender el argumento anterior a cualquier bola abierta en $X$ que contenga a $2$ al notar que todas tienen la forma $(a,b) \cap X$ para algún $a < 2 < b$, y por lo tanto contienen el conjunto no vacío $(a,2) \cap X$ que es disjunto con $Y. O podemos simplemente notar que cualquier bola abierta (o, de hecho, cualquier conjunto abierto en absoluto) que contenga un punto $x$ en un espacio métrico debe incluir, como subconjunto, una bola abierta centrada en $x$, y luego aplicar el argumento anterior.

Answer 4

Estoy dando esto como otra respuesta porque sigo manteniendo mi respuesta original a pesar de que las otras respuestas parecen no estar de acuerdo conmigo.

Este mensaje fue etiquetado como topología general y espacios métricos. Permítanme señalar que la definición que parece estar usando la gente NO es la estándar para ninguno de esos conceptos. Algunos ejemplos: Tenemos que $\mathbb R$ es un espacio métrico que contiene a $X$, entonces $X$ es un espacio métrico con métrica inducida por la métrica de $\mathbb R$ sin interior porque para cualquier intervalo alrededor de un punto $x\in X$ hay un número irracional en cualquier bola alrededor de $x$. Ahora tenemos un espacio topológico $X$ que no es abierto en su propia topología porque conocemos algún espacio más grande que resulta que lo contiene. Además, la definición topológica de una función $f:U\rightarrow V$ donde $U$ y $V$ son espacios topológicos tiene una definición de continuidad "$f$ es continua si y solo si $f^{-1}[S]$ es abierto para cada subconjunto abierto $S\subset V$". Entonces, ¿la función $f:X\rightarrow {\mathbb R}$, $f(x)= x$, no es una función continua de espacios topológicos?

Answer 5

Aquí $B=X$ y $A=Y$ en tu definición de conjunto abierto, y la topología es la topología inducida en $Y$. Por lo tanto, $(\ 1,\ 3\ ) \cap Y$ es un subconjunto abierto de $Y$ con la topología inducida y contiene al $2$, por lo que $2$ es un punto interior de $Y.