Covectors $\omega^1, ..., \omega^k$ son linealmente dependientes iff su cuña de producto es cero

Question

Cómo puedo probar que covectors $\omega^1, ..., \omega^k$ son linealmente independientes, iff su cuña de producto $\omega^1\wedge ...\wedge \omega^k$ no es cero?

Answer 1

"Si una parte:" Supongamos que $\omega^1\wedge ...\wedge \omega^k$ no es cero. Supongamos que $a_i\in\mathbb{R}$ donde $1\leq i\leq k$ tal que $$\tag{1}a_1\omega^1+\cdots+a_k\omega^k=0,$$ the zero covector. Take the wedge product with $\omega^1\wedge \omega^2\wedge\cdots\wedge \omega^{i-1}\wedge\omega^{i+1}\wedge\cdots\wedge\omega^k$ with $(1)$, tenemos $$a_i\omega_i\wedge\omega^1\wedge \omega^2\wedge\cdots\wedge \omega^{i-1}\wedge\omega^{i+1}\wedge\cdots\wedge\omega^k=(-1)^{i-1}a_i\omega^1\wedge ...\wedge \omega^k=0,$$ donde $1\leq i\leq k$. Por lo tanto, si $\omega^1\wedge ...\wedge \omega^k\neq 0$, debemos tener $a_i=0$$1\leq i\leq k$. Por definición, $\omega^1, ..., \omega^k$ son linealmente independientes.

Después de escribir el "si", me parece que me olvidé de la prueba de "sólo si se parte". Espero que alguien pueda ofrecer toda la prueba.