Existencia de una limitada función satisfacer una segunda ecuación diferencial de orden

Question

Esta pregunta es una variación de la versión desde aquí.

Deje $\phi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ ser el estándar de densidad normal, $$\phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \forall x\in\mathbb{R}.$$ Dado $0<\sigma\le 1$. Estoy trabajando con la ecuación diferencial $$\alpha''(u) [\phi(u) + \frac 1\sigma \phi(u/\sigma)] - \alpha'(u) [u\phi(u) + \frac 1{\sigma^3} u\phi(u/\sigma)] - \alpha(u) [\phi(u) + \frac 1{\sigma^3} \phi(u/\sigma)] = \frac 1{\sigma^5} u\phi(u/\sigma).$$

Estoy buscando una solución de la ecuación anterior de tal forma que su $3$-rd derivada es acotada.

Lo que sabemos hasta el momento son:

1. Si el acotamiento de la condición de $3$-rd derivados se ignora, por supuesto, la ODA de arriba tiene una solución general. La pregunta es, ¿cómo elegir una solución satisfactoria el acotamiento de la condición.

2. Para $\sigma=1$, yo podría tomar $\alpha(u)=-\frac14u$ que satisface todas las condiciones. Tengo esta función porque en este caso la solución general de la por encima de la educación a distancia es $\alpha(u)= -\frac 14 u + (a + b \Phi(u))/\phi(u)$. De modo que podemos elegir $a=b=0$. Sin embargo, para $\sigma<1$, que hace que mi problema mucho más difícil. Alguna sugerencia?

Answer 1

Un enfoque (aún no ha sido una solución completa): usando mi aproximación en el comentario de la escritura $$\alpha''(x)=\alpha'(x)\left(x\frac{1+3\epsilon+e^{\epsilon x^2}}{1+\epsilon+e^{\epsilon x^2}}\right)+\alpha(x)\left(\frac{1+3\epsilon+e^{\epsilon x^2}}{1+\epsilon+e^{\epsilon x^2}}\right)+x\frac{1+\epsilon}{1+\epsilon+e^{\epsilon x^2}}$$ Ya tenemos la segunda derivada de $\alpha$ interms de los dos primeros. Asimismo, podemos encontrar la tercera derivada en términos de los dos primeros.

Tomar uno más de derivados y substitue para $\alpha''(x)$ donde nunca aparece. Simplificando, tengo

$$\alpha"'(x)=\left(\alpha'(x) e^{2 x^2 \epsilon} (2 + x^2) + (2 + x^2 + 3 x^2 \epsilon) + e^{x^2 \epsilon} (4 + 2 x^2))+ \alpha(x) x \a la izquierda(e^{2 x^2 \epsilon }+2 e^{x^2 \epsilon }+1\right) + 2 x^2 \epsilon \left(1-e^{x^2 \epsilon }\right)+\left(x^2+1\right) \left(e^{x^2 \epsilon }+1\right)\right)/\a la izquierda(e^{x^2 \epsilon }+1\right)^2$$

Ahora vamos a $x\rightarrow \infty$. La ecuación se simplifica a

$$\alpha'''(x) =\frac{\alpha'(x) x^2 e^{2 x^2 \epsilon}+ \alpha(x) x e^{2 x^2 \epsilon} + x^2 e^{x^2 \epsilon }}{e^{2x^2 \epsilon }} \\ \Rightarrow \alpha'''(x) =\alpha'(x) x^2 + \alpha(x) x + x^2 e^{-x^2 \epsilon } \\ \Rightarrow \alpha'''(x) =\alpha'(x) x^2 + \alpha(x) x $$

Parece que para el su $3$rd derivado a estar delimitado necesita por lo menos delimitada soluciones de la ecuación anterior. No he trabajado estos (o se demuestra que no existen).