¿Cuál es la norma de un número complejo?

Question

Estoy en una clase de teoría de números y estoy tratando de entender cuál es la norma... Para algún número complejo $Z = a +bi$ , $Z$ veces el conjugado de z es igual a $(a^2)+(b^2)$ .

La mayor parte de lo que he leído sobre la norma en línea dice que la norma de $z$ sería entonces la raíz cuadrada de $(a^2)+(b^2)$ es decir. $ \sqrt {(Z**z*)}$ . Lo que supongo que tiene sentido porque ese sería el valor/tamaño absoluto de $z$ (que por lo que entiendo es el propósito de encontrar la norma)

Pero también tengo un libro de texto de teoría de números que dice que la norma de $Z$ es simplemente $Z**z*$ sin la raíz cuadrada. ¿Puede alguien arrojar alguna luz sobre esto? ¿Me estoy perdiendo algo?

Gracias

Answer 1

En la teoría de los números la palabra " norma "se utiliza con un significado diferente al del análisis. Mientras que en el análisis es importante que cada número real positivo sea igual a su propia norma, para el uso de la norma en la teoría de números es mucho más importante que (por ejemplo) la norma de $a+bi$ es un número entero si $a$ y $b$ son números enteros. En algunos casos la norma puede ser incluso negativa, por ejemplo en el anillo $\mathbf Z[\sqrt 3]$ se definiría la norma de $a+b\sqrt 3$ para ser $a^2-3b^2$ que suele ser negativo, pero tiene la propiedad de que un elemento es invertible si y sólo si su norma lo es (en $\mathbf Z$ es decir, la norma es $\pm1$ ). En general, en una extensión de campo finito de $K$ la norma de un elemento es el determinante de la $K$ -operador lineal definido por la multiplicación por ese elemento (y la traza de esa operación se llama traza del elemento).

Answer 2

Aunque esto ya ha sido contestado, quería dar la "geometría" de lo que está pasando.

Si tratamos la multiplicación por $a+bi$ como una transformación lineal en el espacio $x+yi$ entonces, bajo la base habitual de $1,i$ , multiplicación por $a+bi$ se escribe como la multiplicación de la matriz:

$$\left(\begin{matrix}a &-b\\b&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}ax-by\\ay+bx\end{matrix}\right)$$

En teoría de números, la "norma" es el determinante de esta matriz. En ese sentido, a diferencia de lo que ocurre en el análisis, la norma puede considerarse como un área en lugar de una longitud, porque el determinante puede interpretarse como un área (o un volumen en dimensiones superiores). La realidad es que el determinante de una matriz es una cantidad "algebraica" que tiene la bonita propiedad de ser independiente de la base elegida, por lo que está bien definida sin necesidad de elegir una base.

En particular, si $A,B$ son dos $n\times n$ matrices, entonces $\det AB = \det A \det B$ , lo que significa que la norma así definida tiene la misma propiedad: $N(z)N(w)=N(zw)$ . Esta bonita propiedad se traslada a otros casos de "campos numéricos" y sus anillos de enteros en los que la interpretación de "área" es menos clara.

En particular, esta "norma algebraica" no mide la distancia, sino que mide algo sobre el comportamiento multiplicativo de $a+bi$ . Que resulte ser el cuadrado de la norma geométrica en este caso es un hecho geométrico profundo sobre la geometría de los números complejos.

Answer 3

Supongamos que $z = x+iy$ con $x$ parte real y $y$ parte imaginaria, utilizando la norma euclidiana

norma(z) = $\sqrt{(\overline{z}z)} = \sqrt{(x-iy)(x+iy)} = \sqrt{x^2+y^2}$

Es posible que tu libro de texto haya colocado mal la raíz cuadrada.

Esta es sólo una norma particular que usamos normalmente para el número complejo, hay infinitas otras normas, pero todas satisfacen estos axiomas:

1) Homogeneidad positiva

2) Desigualdad de triángulos

3) norma cero si el vector cero

Todas las normas con estos axiomas se pueden estudiar juntas, las normas comunes son la norma euclidiana (2-norma), que es lo que escribí arriba, se suman todos los componentes al cuadrado y se toma la raíz cuadrada de la suma. Puede haber 3-normas, sumar todos los componentes al cubo y tomar la raíz cúbica, y la norma infinita, simplemente tomar el valor absoluto del componente máximo como la norma, o 1-norma, tomando la suma del valor absoluto de todos los componentes. Todas estas normas cumplen los axiomas y de hecho son equivalentes.

Answer 4

Piensa en un número complejo $z = (a+ib)$ como un punto en el plano $(a,b)$ . Piensa en el vector desde el origen hasta el punto $(a,b)$ . La longitud de este vector se define normalmente por $\sqrt{a^2 + b^2}$ . Véase el teorema de Pitágoras para saber por qué.

La norma de $|z|$ es sólo la longitud de este vector. Cuando $z$ es real, la norma es el valor absoluto. Generaliza la noción de que el valor absoluto es la "distancia de 0" para los números reales a la distancia del origen.

Answer 5

Un espacio o conjunto dado puede tener una norma definida en él para diferentes situaciones. En general, una norma es sobre todo una función del espacio en cuestión a los reales no negativos. En tu pregunta, los dos ejemplos que das son normas válidas sobre $\mathbb{C}$ . El de la raíz cuadrada es mucho más común. El libro de teoría de números podría tener un error tipográfico o simplemente estar utilizando una norma ligeramente diferente. http://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(matemáticas)

El comentario de Thomas Andrews en otra respuesta explica por qué el libro de teoría de números utiliza una norma diferente. Ambas son válidas, pero a menos que se te diga lo contrario debes suponer que se utiliza la que tiene la raíz cuadrada.