El valor Principal de la singular integral de la $\int_0^\pi \frac{\cos nt}{\cos t - \cos A} dt$

Question

Para una constante $0<A<\pi$, y natural de la $n$ quiero encontrar el principal valor de la integral:

$$\int_0^\pi \frac{\cos nt}{\cos t - \cos A} dt$$

Primero de todo, no estoy seguro de cuál es la función en el plano complejo que debo mirar. El uso de $$f(z) \equiv \frac{e^{inz}}{e^{iz}-\cos A}$$ o algo similar no funciona, porque no hay ninguna manera obvia para recuperar la función original de que (no simple relación de uno a ser parte del imaginario de los otros, etc). Traté de expresar la diferencia de cosenos como un producto de los senos, pero yo no veo cómo esto me lleva a ninguna parte.

Así que: ¿cuál $f(z)$ debo elegir?

Entonces, necesito encontrar un contorno en el plano complejo, y rodean la singularidad en $A$ (la mitad?)círculo de radio $\epsilon$, para luego tomar el límite de $\epsilon \to 0$. Yo he probado un rectángulo y un semicírculo, pero sin una adecuada función de analizar, es difícil decir qué iba a funcionar. En cualquier caso, para la función que he probado (es decir, con todas las $t$'s reemplazado por $z$'s), no llegar a ninguna parte.

No estoy buscando una respuesta, tan solo una sugerencia, en función de lo que considere, y en lo contorno.

Editar:

Siguiente Mhenni Benghorbal de la pista, llegamos a:

$$I=\frac{(-1)^{n+1}}{2i}\oint_{|z|=1} \frac{z^{2n}+1}{z^n (z+e^{iA})(z+e^{-iA})}dz$$

El problema es que las singularidades están en el círculo unitario a lo largo de la cual yo soy la integración. No estoy seguro de cómo lidiar con eso.

Answer 1

En primer lugar, escriba la integral como

$$ \int_0^\pi \frac{\cos nt}{\cos t - \cos A} dt=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos nt}{\cos t - \cos A} dt. $$

ii) Mediante el cambio de variables $ t=u-\pi $ da

$$ \frac{(-1)^{n+1}}{2}\int_{0}^{2\pi} \frac{\cos nt}{\cos t - \cos A} dt. $$

iii) Usted puede usar el teorema de los residuos para terminar el problema. Poner $z=e^{iu}$ y uso de la identidad

$$ \cos x = \frac{e^{iu}+e^{-iu}}{2}. $$

Se puede terminar de hacerlo ahora? Ver la técnica.

Answer 2

El problema es que las singularidades están en el círculo unitario a lo largo de la cual yo soy la integración. No estoy seguro de cómo lidiar con eso.

A la derecha, es un singular integral, y eso significa que usted tiene singularidades en el contorno. Para lidiar con esto, que deforman el contorno un poco, sustituyendo la parte cerca de los polos en el círculo unitario con pequeñas (casi) semicírculos en la unidad de disco ($\lvert z + e^{\pm iA}\rvert = \varepsilon,\, \lvert z\rvert < 1$). Usted puede usar el teorema de los residuos para calcular la integral sobre la deformada de contorno.

El valor principal de Cauchy corresponde a la eliminación de pequeños arcos simétricos alrededor de los polos, y dejar que la longitud de la quita arcos reducir a $0$.

En la deformación del contorno, que sustituyó a la quita arcos con el (casi) semicírculos dentro de la unidad de disco. Por lo que queda de restar de las integrales sobre estos pequeños (casi) semicírculos, y dejar que su radio de reducir a $0$. En el límite, lo que significa que agregar la mitad de los residuos en los polos de la unidad de círculo (de manera informal, un simple polo en el círculo unitario se encuentra la mitad dentro y la mitad fuera de la unidad de disco).