Duplicación del periodo de bifurcación en una ecuación cuadrática mapa

Question

Estoy tratando de encontrar la $\mu$ para que el mapa $$x_{n+1} = \mu + x_n^2$$ se somete a un periodo de duplicación de la bifurcación.

Entiendo que la búsqueda de los puntos fijos de la mapa es el primer paso hacia la búsqueda de la duplicación del periodo, y me parece que estos son $$x_{*} = \frac{1}{2} (1 \pm \sqrt{1-4\mu})$$ en términos del parámetro. Lo que yo no entiendo es de dónde ir desde aquí. Necesito encontrar el punto fijo de la segunda iteración del mapa? O tengo que asegurar que la condición de que $f_{\mu}'(x_{*}) = -1$ está satisfecho?

Answer 1

Su reiterado mapa está dada por:

$$f_{\mu}(x)=x^2+\mu$$

Sus puntos fijos son correctamente dada como:

$$x_{1,2}=\frac{1}{2}(1\pm\sqrt{1-4\mu})$$

Si un período de cambio se produce en el punto fijo,$x_1$, entonces necesariamente

$$|f'(x_1)|\ge 1$$

así que basta con resolver la ecuación:

$$|f'(x_1)|= 1\Rightarrow$$ $$|2x|_{x=x_1}=1\Rightarrow$$ $$|1+\sqrt{1-4\mu}|=1\Rightarrow$$ $$\sqrt{1-4\mu}=0\Rightarrow$$ $$\mu=\frac{1}{4}$$

Y ahora usted puede estar seguro de que el iterado mapa de $f_{1/4}(x)$, va a sufrir algún tipo de período de cambio en $x_1=\frac{1}{2}$.

Funciona de forma similar para el otro punto fijo.

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Para su posterior verificación, tenga en cuenta que este mapa es el de Mandelbrot mapa para el Conjunto Julia con $\mu=c=1/4$, por lo que el punto de bifurcación es el derecho a la cúspide de la establecida para esta $c$.