Hay no contraejemplo, y sólo tenemos que suponer que $h$ es integrable en $B[0,1]$ .
De hecho, existe una fórmula de cambio de variables para los mapas diferenciables inyectivos como sigue.
Proposición: Sea $U\subset \Bbb R^n$ sea un conjunto abierto no vacío, y sea $T:U\to \Bbb R^n$ sea diferenciable e inyectiva. Entonces para cada función medible $g:\Bbb R^n\to [0,+\infty)$ , $$\int_{T(U)} g~dm=\int_U (g\circ T)\cdot |\det T'|~dm,\tag{1}$$ donde $m$ denota el medida de Lebesgue en $\Bbb R^n$ .
La proposición anterior puede encontrarse esencialmente, por ejemplo, en el Teorema 7.26 de Análisis real y complejo de Walter Rudin, tercera edición .
Como corolario directo de la proposición anterior, si $K\subset U$ es un conjunto compacto y $g$ es la función indicadora de $T(K)$ y, a continuación, aplicar $(1)$ a $g$ produce
$$m(T(K))=\int_K|\det T'|~dm.\tag{2}$$
En nuestra situación, $U=\Bbb R^n$ y para cada $k\ge 1$ , $T=f^k$ es diferenciable e inyectiva en $U$ . Además, para $K=B[0,1]$ sabemos que $|\det T'|\le \frac{1}{2^k}$ en $K$ . Entonces de $(2)$ sabemos que $$m\big(f^k(B[0,1])\big)\le \frac{1}{2^k}m\big(B[0,1]\big),\ \forall k\ge 1\Longrightarrow \lim_{k\to \infty}m\big(f^k(B[0,1])\big)=0.\tag{3}$$ Debido a $(3)$ y el hecho $f^k(B[0,1])\subset B[0,1]$ para cada $k\ge 1$ si $h:B[0,1]\to \Bbb R$ es integrable, $$\lim_{k\to \infty}\int_{f^k(B[0,1])} h~dm=0.$$
