Intuición geométrica del producto del tensor

Question

Que $V$ y $W$ dos estructuras algebraicas, $v\in V$, $w\in W$ dos elementos arbitrarios.

Entonces, ¿qué es la intuición geométrica de $v\otimes w$ y el más complejo $V\otimes W$? Por favor explicar para mí de la manera más concreta (por ejemplo, $v, w$ son dos vectores en espacios del vector dimensionales 2 $V, W$)

Gracias

Answer 1

La diferencia entre el $(v,w)$ de par ordenado de vectores y el producto del tensor $v\otimes w$ de vectores es un escalar $c\not\in\{0,1\}$, el par $(cv,\;w/c)$ es diferente del par $(v,w)$, pero el tensor producto $(cv)\otimes(w/c)$ es el mismo que el tensor producto $v\otimes w$.

Answer 2

Usted desea permanecer en concreto, así que vamos a $V$ ser una de dos dimensiones reales de espacio vectorial y $W = \operatorname{Hom}(W,\mathbb{R})$. A continuación,$V = T^1_0(V)$$W = T^0_1(V)$, lo que para cualquier $v\in V$ y $w\in W$, $v\otimes w\in T^1_1(V)$.

Cada una de las $v,w$ tiene dos componentes, $v = v^1e_1 + v^2e_2$ $w = w_1e^1 + w_2e^2$ donde $e_1,e_2$ es una base para $V$ $e^1,e^2$ es la base dual en $V^*$.

Los componentes de $v\otimes w$ son todos los componentes de $v$ los tiempos de todos los componentes de $w$: $$(v\otimes w)^i_j = v^iw_j.$$

Para ver esto, observe que $(v\otimes w)(\theta, x)=v(\theta)w(x),$, de modo que $(v\otimes w)(e^i, e_j) = v(e^i)w(e_j).$

Más generalmente, si $A = A^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}\in T^p_q$$B = B^{k_1\cdots k_r}_{l_1\cdots l_s}\in T^r_s$, luego

$$(A\otimes B)^{i_1\cdots i_pk_1\cdots k_r}_{j_1\cdots j_q l_1\cdots l_s} = A^{i_1\cdots i_p}_{j_1\cdots j_q}B^{k_1\cdots k_r}_{l_1\cdots l_s}.$$

Tenga en cuenta que nuestro ejemplo es el de la derivada del tensor de álgebra sobre un vector bidimensional del espacio, $T^p_q(V) = (V^*)^{\otimes p}V^{\otimes q}.$ Espero que esto les ayuda a desarrollar su intuición sobre el caso donde $V$ $W$ son dos espacios vectoriales de potencialmente dimensión diferente.