Una pregunta en el local de los anillos

Question

Yo estaba tratando de obtener un contraejemplo de este hecho: un anillo $A$, $f\in A$ y $S=\{1,f,f^2,...\}$ $S^{-1}A$ siempre un anillo local? Me podrían ayudar por favor? Gracias.

Answer 1

Si $A$ es arbitraria (propiedad conmutativa) anillo y $f=1$, $S=\lbrace 1\rbrace$y la canónica de morfismos $A\to S^{-1}A:a\mapsto \frac {a}{1}$ es un isomorfismo de anillos.
Así que tu pregunta es equivalente a "Es cada anillo de $A$ local ?" ¿Qué te parece?

Answer 2

Trate de invertir $n$$\mathbb{Z}$. A continuación, los números primos de este son, literalmente, los primos de $\mathbb{Z}$ coprime a $n$.

Answer 3

De hecho, en general si $S$ es un conjunto multiplicativo, entonces $S^{-1}A$ es local si y sólo si la saturación de $S$ es el complemento de un alojamiento ideal. En general, una saturada multiplicatively conjunto cerrado siempre será el complemento de un sindicato de primer ideales -- pero ese complemento es un saturada multiplicatively conjunto cerrado. Así, para un conjunto multiplicativo para darle un anillo local cuando de invertir se trata de un tipo de maximality condición. Multiplicativa de los conjuntos de la forma que mencionas son en un sentido mínimo (ya que para cualquier conjunto multiplicativo $S$ y cualquier $f \in S$, todas las facultades de $f$ también tiene que ser en $S$). Así que uno espera que un conjunto multiplicativo se producirá, en general, para producir un anillo local.

Answer 4

Acaba de elaborar un poco sobre uncookedfalcon la respuesta, es un estándar de resultado que si $S \subset A$ es un subconjunto multiplicativo, entonces el primer ideales de $S^{-1}A$ son precisamente las de la forma $pS^{-1}A$ donde $p$ es un primer ideal de $A$ tal que $p \cap S = \emptyset$. Ahora intenta deducir el ejemplo que uncookedalcon dio a partir de este hecho.

También tenga en cuenta que desde su $f$ no está obligado a ser distinto de cero o no nilpotent, usted puede localizar en $0$ (o un nilpotent elemento), dándole a usted el cero del anillo que no tiene el primer ideales, por lo tanto no es local.

Answer 5

Para $F$ un campo, si usted localizar en $\{1,x,x^2,\dots\}$ para el anillo de $F[x]$, se obtiene el dominio de los polinomios de Laurent dentro del campo de $F(x)$.

Este nuevo anillo no es local porque sus unidades de parecerse a $fx^i$ para los números enteros $i$$f\in F$, y para el nonunits no está cerrado bajo la suma. (Por ejemplo, $(x+2)-(x+1)$ es una unidad).