¿Por qué son las frecuencias angulares $\omega=2\pi f$ utilizada frecuencias normales $f$?

Question

Cuando por primera vez el estudio de las vibraciones en los cristales comenzamos por el estudio de la monoatómico de la cadena y, a continuación, vaya a la diatómico cadena con una serie de alternancia de las masas. En el estudio de estos miramos para calcular la relación de dispersión, que es la frecuencia angular como una función del vector de onda.

Por ejemplo, en el monoatómico de la cadena de podemos derivar la relación de dispersión como $$\omega=\sqrt{\frac{4C}{M}}\sin^2\Big(\frac{ka}{2}\Big),$$ where $C$ is a 'spring' constant inherent in the crystal structure, $M$ is the mass of the atoms on the chain, $k$ is the wave vector and $$ es el espaciado atómico en la cadena.

Cuando se estudia el diatómicas de la cadena, obtenemos dos soluciones correspondientes a la óptica (diatómico) y acústico (diatómico y monoatómico) las ondas.

Lo que no entiendo es por qué estamos preocupados con una frecuencia angular. Lo que tiene la propiedad de la frecuencia angular? Que yo sepa no hay ningún movimiento de rotación, y el valor intrínseco de la frecuencia de una onda es sin duda más útil?

En adición a esta pregunta, ¿cómo podemos calcular la frecuencia, $f$ de, por ejemplo, una onda óptica de un diatómico cadena dada la frecuencia angular de la relación de dispersión, $\omega$?

Answer 1

Tienes razón en señalar que $f$ es el más "física intuitiva de la cantidad", y al final del día mediciones suelen hacerse en $f$, no $\omega$. Sin embargo, la relación entre el $f$ $\omega$ siempre $2\pi f = \omega$, por lo que es muy sencillo de conversión al punto donde la gente operativamente realmente no pensar en ellos como diferentes. La razón por la $\omega$ suele ser preferido sobre $f$ es porque es más cómodo escribir en las ecuaciones: $\sin(2\pi f t)$ es mucho más complicado escribir de $\sin (\omega t)$. Esto, en esencia, tiene que ver con el hecho de que los sinusoides tienen un período de $2\pi$, no $1$. Por razones similares, la gente tiende a usar $\hbar$ e no $h$ en muchos de ecuaciones.

Answer 2

Principalmente porque

$$\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\sin\left(\omega t\right) = \omega\cos\left(\omega t\right)$$

pero

$$\frac{\rm{d}}{\rm{d}t}\sin\left(2 \pi f t\right) = 2 \pi f\cos\left(2 \pi f t\right)$$

Todos estos factores antes cada vez que se toma una derivada o una integral llegan a ser un dolor de.

Como usted consigue más matemática en la física, tal vez prefiera trabajar con exponenciales complejas, $e^{i\omega t}$ en vez de seno y del coseno, ya hace tratar con ecuaciones diferenciales aún más fáciles (no los bancos y hacia atrás entre seno y coseno cada vez que se toma un derivado).