¿Es posible que $(f\circ g)(x)=x$ y $(g\circ f)(x)\ne x$?

Question

Es posible que $(f\circ g)(x)=x$ y $(g\circ f)(x)\ne x$

¿En otras palabras, para mostrar $f$ y $g$ son lo contrario, es suficiente para mostrar $(f\text{ o }g)(x)=x$?

Nunca he presenciado un caso en que la otra composición no es $x$, si uno de ellos es igual a $x$.

EDIT: Así que esto no siempre es cierto, pero cuáles son las condiciones bajo las cuales esto es cierto. Creo que es más interesante!

Answer 1

Sí, tome $g:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ ser definido por $g(n)=n+1$ $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ ser definido por $$f(n) = \begin{cases} 0 & n=0 \\ n-1 & n>0 \end{cases}$$ A continuación, $f\circ g=\mathrm{id}_\mathbb{N}$ pero $g\circ f\neq \mathrm{id}_\mathbb{N}$ porque $g(f(0))=1$.

En general, si $f:A\rightarrow B$ es inyectiva pero no surjective, existe una izquierda inversa, es decir, una función de $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=\mathrm{id}_A$, pero $g$ no va a ser una relación inversa debido a que $f$ no es surjective. Del mismo modo, si $f:A\rightarrow B$ es surjective pero no inyectiva, no existe un derecho a la inversa, es decir, una función de $g: B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=\mathrm{id}_B$, pero de nuevo, $g$ no va a ser una relación inversa debido a que $f$ no es inyectiva. (Tenga en cuenta que estoy usando el hecho de que $f$ tiene inversa si y sólo si $f$ es bijective.)

La adición de la hipótesis de la continuidad no cambia nada de esto: considere el $x\mapsto e^x$, que es inyectiva pero no surjective (en $\mathbb{R}$, ya que el $e^x$ siempre es positivo). A su izquierda inversa está dada por $x\mapsto \ln |x|$ $x\neq 0$ (y definida para ser lo que quieras en $x=0$).

Answer 2

Sí, es posible. Para un ejemplo de familiar, considere $\tan(x)$ y $\arctan(x)$, como generalmente están definidos.

es todavía $\tan(\arctan(x)) = x$, pero el rango de $y = \arctan(\tan(x))$ $(-\pi/2,\pi/2)$

Answer 3

Considerar $f:\Bbb R\to\Bbb R_{\ge 0}$ y $g:\Bbb R_{\ge 0}\to\Bbb R_{\ge 0}$ de $f(x)=x^2$ y $g(x)=\sqrt x.$

Si habíamos restringido $f$ $\Bbb R_{\ge 0}$, tendríamos que $g\circ f=f\circ g.$ sin embargo, este no es el caso cuando se define como arriba.

Answer 4

Te puse todo esto en el contexto general de la teoría de conjunto;

Sea $f\colon E\to F$ mapa entre conjuntos no vacíos. A continuación:

i $\,f$ es sobreyectiva si y sólo si existe $g\colon F\to E$ tal que $f\circ g=\operatorname{id}_F$.

(ii) $\,f$ es inyectiva si y sólo si existe $g\colon F\to E$ tal que $g\circ f=\operatorname{id}_E$.

Está claro que ninguno de (i), (ii) implica el otro, en otras palabras, un mapa de inyectiva/sobreyectiva no es necesariamente biyectivas.

Esta sigue siendo verdadera si $\,E=F=\mathbf R$.

Answer 5

Hay un ejemplo canónico en álgebra lineal que puede ser trasplantado. Si $F$ es cualquier campo, a continuación, el operador de desplazamiento a la $(x_0,x_1,x_2,\cdots)\mapsto (0,x_0,x_1,\cdots)$ sobre la suma directa de $\bigoplus_{\Bbb N}F$ ha dejado inversa dada por el cambio de la espalda $(y_0,y_1,y_2,\cdots)\mapsto(y_1,y_2,y_3,\cdots)$. Por supuesto, la izquierda inversa no es inyectiva, ya que elimina la primera coordenada, por lo que no es un derecho inversa. Y el original de cambio de mapa no se surjective ya que siempre pone un $0$ en la primera coordenada.

Ahora considere el $\Bbb R$. De acuerdo con el Lema de Zorn / el Axioma de Elección cada espacio vectorial tiene una base, por lo que los reales tienen un espacio vectorial sobre $\Bbb Q$, por lo que podemos escribir $\Bbb R\cong\bigoplus_c\Bbb Q$ para un innumerable conjunto de indexación $c$. De nuevo de acuerdo a Zorn / Elección, cada conjunto puede ser bien ordenado, por lo que sin pérdida de generalidad podemos bien el fin de $c$ y, a continuación, se puede definir un operador de desplazamiento.

Nota este "cambio" idea está presente en la construcción de Hayden respuesta.