Dejemos que $(A, \le)$ sea una red. Considere las siguientes propiedades para una operación conmutativa $\cdot$ en $A$ : $$c \cdot (a \wedge b) = (c \cdot a) \wedge (c \cdot b)$$ $$c \cdot (a \vee b) = (c \cdot a) \vee (c \cdot b)$$ $$a \cdot b = (a \wedge b) \cdot (a \vee b)$$ para todos $a,b,c \in A$ . (En realidad, la tercera propiedad proviene de las dos primeras, como señala Xodarap en su respuesta más abajo).
Por ejemplo, tanto $\wedge$ y $\vee$ satisfacen las propiedades si y sólo si la red es distributiva. Además, si la red tiene un elemento mayor (o menor), entonces es una identidad para $\wedge$ (resp. $\vee$ ).
Mi pregunta es la siguiente:
¿Cuáles son algunas condiciones naturales en la red que garantizan la existencia de una operación que satisfaga las propiedades anteriores que no sea $\wedge$ y $\vee$ ? ¿Qué otras suposiciones podemos hacer (posiblemente sobre $\cdot$ ) para garantizar la unicidad?
Me interesa sobre todo operaciones asociativas con una identidad .
La cuestión surgió del problema de escribir la suma y el producto de los números naturales en términos de las operaciones de red, respectivamente, de $(\mathbb{N}, \le)$ y $(\mathbb{N}, \mid)$ . En esos casos ya conozco la existencia de tales operaciones, que están ocultas en las definiciones de los órdenes. En efecto, ambos órdenes son de la forma $a \preceq b$ si y sólo si existe $c$ tal que $b = a*c$ .
En realidad, la construcción de una orden $\preceq$ como la que se puede llevar a cabo en cualquier monoide conmutativo donde la identidad es irreducible y la ley de cancelación se mantiene, pero $\preceq$ no es necesariamente un orden de red, a menos que $*$ goza de una propiedad de factorización única. Además, la unicidad no parece desprenderse únicamente de estas premisas.
