Elegir puntos al azar en el volumen de la esfera con probabilidad uniforme

Question

Tengo una esfera de radio $R_{s}$ y me gustaría elegir puntos al azar en su volumen con una probabilidad uniforme. ¿Cómo puedo hacerlo evitando cualquier tipo de agrupación alrededor de los polos o del centro de la esfera?

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Ya que soy incapaz de responder a mi propia pregunta, he aquí otra solución:

Utilizando la estrategia sugerida por Wolfram MathWorld para elegir puntos en la superficie de una esfera: Sea $\theta$ sean números reales distribuidos aleatoriamente en el intervalo $[0,2\pi]$ , dejemos que $\phi=\arccos(2v−1)$ donde $v$ es un número real aleatorio en el intervalo $[0,1]$ y que $r=R_s (\mathrm{rand}(0,1))^\frac13$ . Convirtiendo de coordenadas esféricas, un punto aleatorio en $(x,y,z)$ dentro de la esfera sería por tanto: $((r\cos(\theta)\sin(\phi)),(r\sin(\theta)\sin(\phi)),(r\cos(\phi)))$ .

Una prueba rápida con algunos miles de puntos en la esfera de la unidad parece no mostrar ninguna agrupación. Sin embargo, agradecería cualquier comentario si alguien ve un problema con este enfoque.

Answer 1

Digamos que tu esfera está centrada en el origen $(0,0,0)$ .

Para la distancia $D$ desde el origen de su punto aleatorio, tenga en cuenta que quiere $P(D \le r) = \left(\frac{r}{R_s}\right)^3$ . Por lo tanto, si $U$ se distribuye uniformemente entre 0 y 1, tomando $D = R_s U^{1/3}$ hará el truco.

Para la dirección, un hecho útil es que si $X_1, X_2, X_3$ son variables aleatorias normales independientes con media 0 y varianza 1, entonces $$\frac{1}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}} (X_1, X_2, X_3)$$ se distribuye uniformemente en (la superficie de) la esfera unitaria. Se pueden generar variables aleatorias normales a partir de las uniformes de varias maneras; la Algoritmo de Box-Muller es un enfoque sencillo y agradable.

Así que si eliges $U$ distribuido uniformemente entre 0 y 1, y $X_1, X_2, X_3$ normal iid e independiente de $U$ entonces $$\frac{R_s U^{1/3}}{\sqrt{X_1^2 + X_2^2 + X_3^2}} (X_1, X_2, X_3)$$ produciría un punto uniformemente distribuido dentro de la bola de radio $R_s$ .

Answer 2

Un método alternativo en $3$ dimensiones:

Paso 1: Tome $x, y, $ y $z$ cada uniforme en $[-r_s, r_s]$ .

Paso 2: Si $x^2+y^2+z^2\leq r_s^2$ , para. Si no es así, tíralos y vuelve al paso $1$ .

Su probabilidad de éxito cada vez viene dada por el volumen de la esfera sobre el volumen del cubo, que es aproximadamente $0.52$ . Así que necesitarás un poco más de $2$ muestras de media.

Si estás en dimensiones más altas, esto no es un proceso muy eficiente en absoluto, porque en un gran número de dimensiones un punto aleatorio del cubo probablemente no está en la esfera (por lo que tendrás que tomar muchos puntos antes de obtener un éxito). En ese caso, una versión modificada del algoritmo de Nate sería el camino a seguir.

Answer 3

Nate y Kevin ya respondieron a los dos que conocía... Recordando este y este Creo que otra forma de generar una distribución uniforme sobre la superficie de la esfera sería generar una distribución uniforme sobre el cilindro vertical que encierra la esfera, y luego proyectarla horizontalmente.

Es decir, generar $z \sim U[0,R]$ , $\theta \sim U[0,2\pi]$ y luego $x=\sqrt{R^2-z^2} \cos(\theta)$ , $y=\sqrt{R^2-z^2} \sin(\theta)$ . Esto (si no me equivoco) da una distribución uniforme sobre la superficie de la esfera. Luego, aplica la receta de Nate para obtener una distribución uniforme sobre el volumen de la esfera.

Este método es un poco más simple (y más eficiente) que la respuesta aceptada, aunque no es generalizable a otras dimensiones.

Answer 4

Sólo quiero añadir una pequeña derivación a la respuesta de leonbloy, que utiliza el cálculo en lugar de la intuición geométrica. Pasando de la cartesiana $(x,y,z)$ a la esférica $(r,\theta,\phi)$ coordenadas, tenemos para el elemento de volumen $$dx dy dz =r^2 \sin \theta ~ dr d\theta d\phi$$ Las coordenadas $(r,\theta,\phi)$ no funcionan para una distribución uniforme porque seguimos teniendo un factor no constante delante de $dr d\theta d\phi$ . Por lo tanto, introducimos $$u=-\cos \theta \Rightarrow du= \sin \theta d\theta$$ $$\lambda=r^3/R^3 \Rightarrow d \lambda=\frac{3}{R^3}r^2dr$$ con lo que obtenemos una expresión con un pre-factor constante $$dx dy dz= \frac{R^3}{3} d\lambda du d\phi$$ El rango de nuestras variables es $\lambda \in [0,1], ~u \in [-1,1), \phi \in [0, 2\pi) $ . Eligiendo estos números de manera uniforme obtenemos las coordenadas cartesianas

$$ \begin{align} x&=r \sin(\theta) \cos (\phi) =&R \lambda^{1/3} \sqrt{1-u^2}\cos(\phi)\\ y&=r \sin(\theta) \sin (\phi) =&R \lambda^{1/3} \sqrt{1-u^2}\sin(\phi) \\ z&=r \cos (\theta)=&R \lambda^{1/3} u \end{align} $$

Answer 5

Una forma mucho más sencilla sería emparejar las superficies a diferentes distancias del centro.

La superficie de una esfera de radio R tiene un área de 4 R^2

Así que sólo hay que emparejar varias superficies que sumen la misma área.

Por ejemplo:

Superficie de la esfera con r = 0 emparejada con la superficie de la esfera con r = R para tener un área total de 4 R^2

Superficie de la esfera con r = R/2 emparejada con la superficie de la esfera con r = sqrt(3)R/2 para tener un área total de 4 R^2

Para obtener el punto aleatorio, haz los siguientes pasos:

1) Para elegir theta (se puede elegir uniformemente en todo su rango, ya que todos los valores de theta son igualmente probables):

Elige un "theta" aleatorio en el rango [0, 2]

2) Para elegir phi (Utilice la misma estrategia que para las áreas, pero esta vez se aplicará emparejando la circunferencia del círculo para un valor de phi 2 R cos(phi) con su complemento para producir una longitud total de 2 R):

Elige una "a" al azar en el rango [0, /2]

Elige una "b" aleatoria en el rango [0, 1]

Elige una "c" al azar que sea 1 o -1 (arriba o abajo)

if b <= cos(a) then
    phi = c a
else
    phi = c inv_cos(1 - cos(a))

3) Para elegir r (Emparejar cada valor de radio posible con su complemento, de forma que la suma de las superficies de las esferas sea igual a 4 R^2):

Elige una "d" aleatoria en el rango [0, 1]

Elige una "e" al azar en el rango [0, 1]

Un valor r es "d R" el valor r complementario es "sqrt(1 - d^2) R".

Área total = 4 (d R)^2 + 4 (sqrt(1 - d^2) R)^2

Área total = 4 (d^2 R^2 + (1 - d^2) R^2)

Área total = 4 (d^2 R^2 + R^2 - d^2 R^2)

Área total = 4 R^2 (como queríamos)

if e <= d^2 then
    r = d R
else
    r = sqrt(1 - d^2) R

Su punto aleatorio elegido uniformemente dentro de la esfera en coordenadas radiales es:

(r, theta, phi)