La forma general para encontrar todos los homomorphism $\mathbb Z_n\to G$ por un arbitray grupo abelian $G$ es el siguiente: Supongamos $\phi:\mathbb Z_n\to G$ es un grupo homomorphism, como usted dijo, es determinado por la imagen de $1$, por lo que la pregunta realmente es que las elecciones de $g\in G$ dar un homomorphism $\mathbb Z_n\to G$ cuando se toma como la imagen de $1$?
Para homomorphisms $\psi:\mathbb Z\to G$, esto es fácil: elija cualquiera de los $g\in G$, vamos a $\psi(x)=xg$ y sólo echa un $$\psi(x+y)=(x+y)g=xg+yg=\psi(x)+\psi(y).$$
Ahora, ¿qué podría salir mal? La cosa sutil que pasa aquí es mejor expuesto, cuando escribimos $G$ como un grupo multiplicativo. La definición de $\psi$ hace $\psi(x)=g^x$ y el cálculo es $$\psi(x+y)=g^{x+y}=g^x g^y =\psi(x)\psi(y).$$
El hecho importante: $g^x$ está definido por $x\in\mathbb Z$, por eso $\mathbb Z\to G$ es fácil.
Volviendo a $\phi:\mathbb Z_n\to G$, y apegarse a la notación multiplicativa, es tentador elegir $\phi(1)=g$ y definen $\phi(x)=g^x$. Pero aquí surgen problemas: Al $x\in\mathbb Z_n$, lo $g^x$ supone que significa eso? Recuerde que $x\in\mathbb Z_n$ realmente es un coset de $n\mathbb Z$$\mathbb Z$, que consta de todos los elementos de la forma $x+kn$ $k\in\mathbb Z$ y $\mathbb Z_n$ es realmente sólo una forma abreviada de $\mathbb Z/n\mathbb Z$, el conjunto de todos los cosets equipado con la adición.
Lo que realmente está haciendo es definir $\psi:\mathbb Z\to G$ $\psi(x)=g^x$ (que es correcto) y luego mirar a la inducida por el mapa de $\phi:\mathbb Z_n\to G$ $\phi(x+n\mathbb Z)=g^x$ todos los $x\in\mathbb Z$. Ahora la definición depende de la representante de la $x$ de la coset $x+n\mathbb Z$. Para el mapa para ser aún bien definido, que tiene que ser independiente de la elección de la representante: Si $x+n\mathbb Z=y+n\mathbb Z$, lo $x-y=kn$ algunos $k\in \mathbb Z$, queremos $g^x=g^y$, lo $1=g^{x-y}=g^{kn}$. Así, por $\phi$ a ser bien definido, necesitamos $g^{kn}=1$ todos los $k\in\mathbb Z$: El orden de $g$ tiene que ser un divisor de a $n$. Cuando este es el caso, el mismo cálculo anterior revela que $\phi$ no está bien definido, pero bien definido grupo de homomorphism.
Ahora que sabemos que podemos elegir cualquier $g\in G$ con el fin de buceo $n$, $\mathbb Z_4\to\mathbb Z_2\oplus\mathbb Z_2$ es rápido: Todos los elementos de a $\mathbb Z_2\oplus \mathbb Z_2$ son de orden $1$ o $2$, ambos son divisores de $4$, por lo que podemos elegir cualquiera de ellos.
