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Minimizar una función matricial con restricciones

Dejemos que $A, X\in\mathbb{R}^{n\times n}$ . La función objetivo escalar es $$J=\mathrm{tr}(AX)$$ Si no hay restricciones, que la derivada de $J$ con respecto a $X$ sean ceros, entonces tenemos $$A=0$$ Supongamos que $A$ también es una función compleja, de $A=0$ Puedo calcular algo más.

Mi pregunta es ¿Qué pasa si ? $X$ es una matriz ortogonal, es decir $X^TX=I$ ? Entonces se convierte en un problema de optimización con restricciones. ¿Puedo seguir utilizando técnicas diferenciales matriciales para derivar el minimizador? Gracias.

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Did Puntos 1

Una partícula (digamos un bosón escalar) es algo que tenga la masa, el espín y las propiedades adecuadas. Si el operador $a_{p}^{\dagger}$ crea un estado de definición $p$ actuando en el vacío $|0\rangle$ y tal que la relación de Einstein entre energía y momento se satisface, entonces es más o menos natural decir que el estado $a^{\dagger}_{p}|0\rangle$ representa una excitación del campo de Klein Gordon, y ese objeto matemático representa una partícula.

Incluso en la mecánica cuántica no relativista no se pueden tener estados de posición perfectamente definidos, por ejemplo, $\vec{r}_0 $$\psi ( \vec {r})_{ \vec {r_0}} \propto\delta ^{3}( \vec {r}- \vec {r}_0)$ porque no es una función permitida (no es integrable al cuadrado) y no se puede aplicar la regla de Born y tampoco se aplica el principio de incertidumbre de Heisenberg.

La partícula como objeto localizado con una trayectoria definida (una función dos veces diferenciable de las coordenadas con respecto al tiempo) no está en el ámbito de la mecánica cuántica. El lenguaje matemático de la mecánica cuántica, y sus postulados, nos prohíben hablar de trayectorias en el sentido clásico (no mecánico cuántico).

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michielvoo Puntos 15413

Otra forma de obtener la respuesta de did es utilizar el SVD para reducir al caso de $A$ siendo diagonal: Tenemos $A = USV'$ , donde $U$ y $V$ son ortogonales y $S$ es diagonal, por lo que

$$\def\Tr{\operatorname{Tr}}\Tr(AX) = \Tr(SV'XU)\;.$$

Desde $X\to V'XU$ es una biyección en el conjunto de matrices ortogonales,

$$\min\{\Tr(AX)\mid X\text{ orthogonal}\} = \min\{\Tr(SW)\mid W\text{ orthogonal}\}\;.$$

Pero $\Tr(SW) = \sum_iS_{ii}W_{ii}$ y todos los $S_{ii}$ son no negativos y $-1\le W_{ii}\le1$ para que $\Tr(SW)\ge\Tr(S(-I))$ por lo que el mínimo se produce en $W=-I$ (o $X=-VU'$ ) y es $-\sum_iS_{ii}$ .

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