Es allí cualquier finito (resp. infinito) no abelian grupo de orden $\geq 8$ tal que $AB=BA$ para todos los subconjuntos de a$A, B$$|A|\geq 3$$|B|\geq 3$?
($AB=\{ab: a\in A, b\in B\}$)
Respuesta
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Deje $G$ ser cualquier nonabelian grupo y elija $a,b\in G$ son tales que $ab\neq ba$. Elegir los distintos elementos $c,d\in G\setminus\{a,bab^{-1}\}$, y elegir los distintos elementos $e,f\in G\setminus\{b,a^{-1}ba,c^{-1}ba,d^{-1}ba\}$. Esto es posible desde cualquier nonabelian grupo tiene al menos $6$ elementos. Deje $A=\{a,c,d\}$$B=\{b,e,f\}$. Nuestra selección de $c,d,e,$ $f$ exactamente garantiza que $ba\not\in AB$ (elegimos $c$ $d$ tal que $cb,db\neq ba$, y, a continuación, elegimos $e$ $f$ tal que $ae,ce,de,af,cf,df\neq ba$). Desde $ba\in BA$, esto significa $AB\neq BA$.
(En general, se podría igualmente elija $A$ $B$ a ha $n$ elementos tan largo como $|G|\geq 2n$.)
