Si $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\neq f(b)$ entonces $f$ es estrictamente monótona en algún segmento $[c,d]\subseteq [a,b]$ ?

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación?

Si $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\neq f(b)$ entonces $f$ es estrictamente monótona en algún segmento $[c,d]\subseteq [a,b]$ ?

Parece trivial cuando se dibuja una curva arbitraria y se encuentra el segmento $[c,d]$ . ¿Y la prueba? En efecto, si la afirmación no es correcta, ¿podemos añadir alguna hipótesis para que sea verdadera?

Muchas gracias.

Answer 1

Si asume que $f$ tiene una derivada continua, entonces la afirmación se convierte en verdadera: por el teorema del valor medio, $$ f(b)-f(a) = f'(\xi) (b-a) $$ para algunos $\xi \in (a,b)$ . Pero entonces, $$ f'(\xi ) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. $$ Desde $f(b)\neq f(a)$ , se consigue que o bien $f'(\xi) >0$ (o $f'(\xi)<0$ ). Además, la función $f'$ tendrá signo constante en una vecindad de $\xi$ , digamos que $(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ porque es continua. Por lo tanto, concluimos que $f$ es estrictamente creciente (o decreciente) en $(\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon)$ que contiene un intervalo cerrado $[c,d]$ .

Answer 2

Permítanme proporcionar una respuesta que es de alguna manera diferente en el espíritu de los de la pregunta MSE Función continua monótona en ninguna parte .

En cuanto a muchas preguntas de este tipo, es muy difícil construir contraejemplos, mientras que la probabilidad puede decirnos "fácilmente" que hay más contraejemplos que ejemplos en realidad.

Primero empiezo con un problema fácil: ¿Existen los números trascendentales? Sabemos que hay muchas por el simple hecho de la cardinalidad, pero es bastante difícil exhibir una explícita (por ejemplo hay que demostrar que $e$ es trascendental).

Ahora dejemos que $B=B(\omega):[0,1]\to\mathbf R$ ser un Movimiento browniano definido en algún espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{B},\mathbf P)$ . En una frase corta, el movimiento browniano es la función continua aleatoria y por esta razón debería tener muchas de las propiedades que satisfacen "la mayoría" de las funciones continuas.

Un hecho clave, consecuencia de la $0$ - $1$ ley es que con probabilidad $1$ la función aleatoria $B$ toma valores positivos y negativos en cualquier vecindad pequeña de cero.

Un segundo hecho clave (que en realidad está en la definición de BM) es que para cualquier $t>0$ la función $s\to B(t+s)-B(t)$ tiene la misma ley de un BM. Esto implica, sólo utilizando la traslación en el tiempo, que $B(t+s)$ toma valores mayores que $B(t)$ y menos de $B(t)$ en cualquier vecindad correcta de $t$ .

Esto implica que con probabilidad $1$ , $B$ no es monótona en ninguna parte.