Frobenius homomorphism

Question

Su fácil la prueba de que cualquier campo distinto de cero homomorphism es inyectiva:

Prueba Suponga que $\exists a, b\in F: a\neq b~~and~~\psi(a)=\psi(b)$, entonces: $$\psi(1)=\psi((a-b)^{-1}(a-b))=\psi((a-b)^{-1})\cdot 0,$$ $$\forall x\in F:~~\psi(x)=\psi(x\cdot 1)=\psi(x)\cdot\psi(1)=\psi(x)\cdot0=0.$$ Por eso, $\psi\equiv 0.$ $$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\square$$

Pero vamos a considerar Frobenius homomorphism de algebraicamente cerrado campo de $F$: $$F\ni x\stackrel{\Phi}{\longmapsto} x^p\in F.$$ Ecuación $$x^p-a=0$$ han p raíces distintas. Por eso, $\Phi$ no es inyectiva. ¿Dónde está el error?

Gracias.

Answer 1

Sobre un campo de característica $p$ esta ecuación tiene una sola raíz o raíces no en todos. Si $\xi$ es una solución de la ecuación de $x^p-a=0$,$\xi^p=a$. En consecuencia $$ x^p-a=x^p-\xi^p=(x-\xi)^p, $$ y $\xi$ es una raíz de multiplicidad $p$.

El error fue asumir que el $p$ raíces distintas.