Ingenua pregunta sobre teoría de perturbaciones dependientes del tiempo

Question

En el tiempo-dependiente de la teoría de la perturbación donde $H=H_0+V$ $V$ es considerado pequeño y tiene no explícita dependencia del tiempo, el estándar de libros de texto tratamiento de la orden principal de probabilidad de la amplitud para que el sistema haga una transición de $|i\rangle$ $|f\rangle$es

$$ P_{f\leftarrow i}(\Delta t)=\big|\langle f|V|i \rangle\big|^2\frac{4\sin^2(\omega_{fi}\Delta t/2)}{\manejadores^2\omega^2_{fi}} $$

Si considero que las transiciones entre dos estados de la misma energía, me tome la $\omega_{fi}\rightarrow0$ límite, me da

$$ P_{f\leftarrow i}(\Delta t)=\big|\langle f|V|i \rangle\big|^2(\Delta t)^2., $$

que crece sin límite en el tiempo, como $\Delta t^2$. Me gustaría que esto significa que la teoría de la perturbación falla en tiempos largos. Entonces, ¿por qué se me permite tomar el gran límite de tiempo para derivar la regla de Oro de Fermi, sin correr el riesgo de fracaso de la teoría de la perturbación?

Answer 1

En primer lugar, una corrección. La primera fórmula es la probabilidad de que, de no probabilidad de amplitud.

Y es calculada en el orden de líder único, "lineal" en un sentido, así que por supuesto es sólo una buena aproximación para $P_{f\leftarrow i}\ll 1$. Cuando la probabilidad es comparable a uno, subleading y correcciones de orden superior se convierten en importantes porque uno debe también estudiar cómo la recién creada coeficientes delante de otros estados – unidos ausente en las primeras de cambio de estado por el tiempo de evolución.

La teoría de la perturbación siempre se hace insuficiente cuando la perturbación, en este caso, el elemento de la matriz $\langle f |V|i\rangle$, es demasiado grande. Pero uno debe entender correctamente lo "demasiado grande". Y significa $P_{f\leftarrow i} \geq O(1)$ que es equivalente a $\langle f |V|i\rangle \cdot \Delta t \geq O(\hbar)$. Para las transiciones en $\omega_{fi}\to 0$, el requisito de "lo pequeño que la perturbación elemento de la matriz tiene que ser" simplemente se pone más difícil, el límite superior se hace más pequeño. Uno más de forma equivalente a decir que: para la teoría de la perturbación a estar bien, usted necesita tener $\Delta t\ll \hbar / \langle f |V|i\rangle$.

Sin embargo, su tratamiento tiene un problema más. Así, uno de los dos problemas. Si usted considera que la transición a una discreta estado final que sólo pasa a tener una energía finita, se trata de lidiar con los degenerados teoría de la perturbación y usted debe primero rediagonalize $H_0+V$ en este subespacio de Hilbert, para descubrir que el consumo real de energía autoestados difieren de la original estado inicial y sus energías en realidad son diferentes.

Si usted considerar la posibilidad de una transición a un estado final que pertenece a un continuo, entonces usted está interesado en el integrado de probabilidad sobre $\omega_f$, de todos modos, y en ese caso, $\sin^2 Y / Y^2$ puede ser aproximada por un múltiplo de la delta-función que impone el "ingenuo" ley de conservación de la energía. Ver, por ejemplo, este documento para algunos de introducción al método. A mi la desigualdad aparece como (11.40) en la página 104.