Un formulario problema entre el$S^3$$S^2$.

Question

Deje $\phi: S^3 \rightarrow S^2$ ser un suave mapa.

a) Supongamos que $\omega$ es una 2-forma en $S^2$$\int_{S^2} \omega =1$. Mostrar que existe una 1-forma$\alpha$$S^3$$\phi^{*}\omega=d\alpha$.

b) Considerar el número de $N=\int_{S^3} \alpha \wedge \phi^{*}\omega $. Mostrar que $N$ es independiente de la elección de $\omega$ satisfacción $\int_{S^2} \omega =1$ y la elección de $\alpha$ satisfacción $\phi^{*}\omega=d\alpha$.

Para la primera parte, yo uso de Rham cohomology, sabemos que $H_{2}(S^3)=0$, entonces cada cerrado 2-formulario es exacta. entonces es suficiente para demostrar que $\phi^{*}\omega$ es cerrado. Pero el uso de la connaturalidad del operador $d$, $d\phi^{*}\omega=\phi^{*}(d\omega)=0$ desde $d\omega=0$. Así que tenemos que $\phi^{*}\omega$ es exacta. Mi problema es que yo nunca uso la hipótesis de $\int_{S^2} \omega =1$.

También, no sé cómo hacer la parte b).

Answer 1

1. Usted no necesita $\int \omega=1$); de hecho, la instrucción en una) es la escala-invariante, para demostrar, por $\omega$ $\int \omega=1$ es equivalente a probar que para todo a $\omega$. Sin embargo, usted necesita para hacer b).
2. Para mostrar que $N$ es independiente de $\alpha$ para un determinado $\omega$, supongamos $\phi^* \omega=d\alpha=d\beta$. Entonces $$0=\int_{S^3} d(\alpha \wedge \beta)=\int_{S^3} \left(\beta \wedge d\alpha - \alpha \wedge d\beta\right) = \int_{S^3} \beta \wedge \phi^* \omega - \int_{S^3} \alpha \wedge \phi^* \omega$$ a través de Stokes y teorema de la regla de Leibniz.
3. Para mostrar que $N$ es independiente de $\omega$, supongamos $\omega$ $\eta$ integrar tanto a $1$. Desde $H^2(S^2) \cong \Bbb{R}$ a través de la integración del mapa, $\omega$ $\eta$ se encuentran en la misma de Rham cohomology de clase; por lo tanto $\eta = \omega+d\theta$ para algunos 1 formulario a -$\theta$. Elija $\alpha$$\phi^* \omega=d\alpha$; a continuación, $\phi^* \eta=\phi^*(\omega+d\theta)=d(\alpha + \phi^* \theta)$ (desde $d$ viajes con pullbacks). Ahora, si calculamos el $N$$\eta$, obtenemos $$\int_{S^3} (\alpha + \phi^* \theta) \wedge d(\alpha + \phi^* \theta) = \int_{S^3} \alpha \wedge d\alpha + \int_{S^3} \left(\alpha \wedge d(\phi^* \theta) + \phi^* \theta \wedge d\alpha\right) + \int_{S^3} \phi^* \theta \wedge d(\phi^* \theta) \, .$$ La primera integral es lo que tenemos si calculamos el $N$$\omega$. El segundo integrando es igual a $d(\phi^* \theta \wedge \alpha)$, por lo que la segunda integral se desvanece por Stokes teorema. El tercer integrando también puede ser escrito como $\phi^*(\theta \wedge d\theta)$; desde $\theta \wedge d\theta$ $3$- forma en $S^2$, se desvanece (y así lo hace su retirada). Esto completa la prueba.