Deje ${\bf C}$ ser una categoría con cero morfismos, es decir, para cada una de las $X,Y\in {\bf C}$, hay un morfismos $0_{XY}:X\rightarrow Y$ satisfacer ciertas propiedades ($0_{XY}$ compone con todos los morfismos de $Y$ o a $X$ para dar otro ejemplo). Según la Wikipedia, "la colección de $0_{XY}$ es único." Qué significa que dado $X,Y\in{\bf C}$, no puede ser sólo uno de morfismos que podemos utilizar como $0_{XY}$? Cuando la definición de núcleo y cokernel, uno utiliza estos morfismos $0_{XY}$, de modo que parece como si el kernel y cokernel depende de una elección particular de la familia de $0_{XY}$, que es muy desagradable.
Respuesta
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Sí. La idea es la misma que la prueba de la singularidad de las identidades en un monoid. Si $f_{X, Y} : X \to Y$ es una familia de cero morfismos y $g_{X, Y} : X \to Y$ es otra familia de cero morfismos, entonces
$$f_{Y, Z} \circ g_{X, Y} = g_{X, Z} = f_{X, Z}$$
por cada triple de los objetos de $X, Y, Z$.
