"Funciones" conmutativas"

Question

Decimos que una función es conmutativa si permanece sin cambios bajo cualquier permutación de sus argumentos. Por ejemplo, $f(0,1)=f(1,0)$. (Alternativamente podríamos describir estas funciones como funciones sobre multi-conjuntos, o decir que son reflexivas sobre cualquier hiperplano $x_i=x_j$). Algunos ejemplos son la suma, el producto y el promedio.

1. ¿Hay un nombre para estas funciones? Las búsquedas en Google de funciones "conmutativas" y "reflexivas" no arrojan nada.
2. ¿Podemos decir algo interesante sobre estas funciones? Por ejemplo, noto que cualquier función conmutativa que sea lineal debe ser la función de suma, multiplicada por alguna constante. (es decir, $f(x)=c\sum x_i$). Además, veo que las funciones forman un campo bajo las operaciones obvias.

Answer 1

Estos se llaman funciones simétricas (de dos variables). Hay una extensa literatura que se concentra principalmente en polinomios simétricos. Cualquier polinomio simétrico en dos variables $x$, $y$ es un polinomio en las variables $x+y$ y $xy$. Existe un importante análogo para polinomios simétricos en más variables.

Answer 2

Como respuesta a tu segunda pregunta:

Cada polinomio simétrico se puede expresar como un polinomio en los polinomios simétricos elementales, cuya demostración puedes encontrar en la mayoría de los textos de Álgebra Abstracta (por ejemplo, Dummit y Foote)