Mínimo y máximo con $1+\frac{a+x}{b+x}+\frac{a+x}{c+x}$

Question

Deje $a,b,c\geq 1$$x,y,z\geq 0$. ¿Cuáles son los valores mínimo y máximo de $$f(a,b,c,x,y,z)=\frac{1}{1+\frac{a+x}{b+x}+\frac{a+x}{c+x}}+\frac{1}{1+\frac{b+y}{a+y}+\frac{b+y}{c+y}}+\frac{1}{1+\frac{c+z}{a+z}+\frac{c+z}{b+z}}?$$

Puesto que cada término no es más que $1$, el máximo no es más de $3$. Cuando $a=b=c$, $f(a,b,c,x,y,z)=1$.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, tome $a\ge b\ge c$.

Por mediant inquality, $$1 \le \frac{a+x}{b+x} \le \frac{a}{b}$$ $$1 \le \frac{a+x}{c+x} \le \frac{a}{c}$$

$$3 \le 1+\frac{a+x}{c+x}+\frac{a+x}{c+x} \le 1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$$

$$\frac{b}{a} \le \frac{b+y}{a+y} \le 1$$ $$1 \le \frac{b+y}{c+y} \le \frac{b}{c}$$

$$2+\frac{b}{a} \le 1+\frac{b+y}{a+y}+\frac{b+y}{c+y} \le 2+\frac{b}{c}$$

Por mediant inquality, $$\frac{c}{a} \le \frac{c+z}{a+z} \le 1$$ $$\frac{c}{b} \le \frac{c+z}{b+z} \le 1$$

$$1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b} \le 1+\frac{c+z}{a+z}+\frac{c+z}{b+z} \le 3$$

Fijo $a\ge b\ge c$,

$$\frac{1}{1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}}+\frac{1}{2+\frac{b}{c}}+\frac{1}{3} \le f(a,b,c,x,y,z) \le \frac{1}{3}+\frac{1}{2+\frac{b}{a}}+\frac{1}{1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}} $$

Tome $\frac{a}{b}, \frac{a}{c}, \frac{b}{c} \to \infty$,

$$\frac{1}{3} \le f(a,b,c,x,y,z) \le \frac{11}{6}$$