Prueba de inducción de que$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4$

Question

Probar que:

$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ $n \in N$

Así que estoy pensando que tengo que hacer una prueba por inducción matemática. Aquí está mi intento:

Sea S(n) ser la declaración de $1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$n \in N$. Cuando n=1,

$$1^3=\frac{1^2(1+1)^2}{4}$$

$$1=\frac{(2)^2}{4}$$

$$1=\frac{4}{4}$$

Entonces, P(1) es verdadera.

Supongamos que k es cualquier entero con $k \ge 1$ tal que $p(k)1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$k \in N$. A continuación, la adición de $(k+1)^3$ a ambos lados,

$$1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1)}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k^2+4k+4)}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k+1)^2(k+1+1)^2}{4}=P(k+1)$$

Por lo tanto, ya hemos probado que P(k+1) es verdadera, podemos concluir que P(k) es verdadera para todos los $k \in N$.

¿Cómo se ve, ninguna de las ediciones que debo hacer?

Answer 1

Único problema para mí es que no debería estar diciendo $\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} = P(k+1)$. $P$ es un predicado, no es un polinomio. En otras palabras, es un enunciado matemático que es verdadera o falsa, pero no poseen un valor numérico, a diferencia de la expresión aritmética dada en el lado izquierdo. Así que en su lugar podría escribir $1^3 + 2^3 + \dots + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4} \implies P(k+1)$.

Tener conectivos lógicos (por ejemplo, $\implies$)entre cada una de las ecuaciones es probablemente una buena idea así, porque a pesar de que su lector probablemente se reconoce que estas declaraciones están destinadas a estar juntas, en teoría, también podría estar relacionado declaraciones.

Answer 2

Ok, es bueno.

Lo haría así. En el primer paso para$(k+1)$,

Lado izquierdo:$$P_{k+1} - P_k = (k+1)^3$ $

Lado derecho:$$P_{k+1}-P_k={{(k+1)^2}{(k+2)^2} \over 4}-{{(k)^2}{(k+1)^2} \over 4}$ $$$P_{k+1}-P_k={1 \over 4}{(k+1)^2}({(k+2)^2-(k)^2})$ $$$P_{k+1}-P_k={1 \over 4}{(k+1)^2}({4k+4})$ $$$P_{k+1}-P_k={(k+1)^3}$