Regla de poder generalizada para derivados

Question

De fondo

Este fondo no es realmente necesario para responder a mi pregunta, pero he incluido aquí para proporcionar un contexto.

Esta pregunta tiene algunos aspectos de la programación a él también, pero desde que mi pregunta es principalmente acerca de las matemáticas, decidí preguntar aquí.

Estoy tratando de extender la aplicación automática de la diferenciación encontrado aquí. Esta aplicación, suponiendo que yo lo lea correctamente, no funciona para las funciones de la forma $F(x)=f(x)^{g(x)}$. Estoy tratando de modificar lo que no funciona para tales funciones.

Pregunta

Estoy tratando de encontrar una derivada para funciones de la forma $F(x)=f(x)^{g(x)}$. Yo específicamente sólo se preocupan por la "normal" en los casos donde $g(x)$ forma constante, o $f(x)$ es positivo. La Wikipedia me ha dado una "Generalizada de la Potencia de la Regla":

$$(f^g)^\prime = f^g\left(f^\prime\frac{g}{f}+g^\prime\ln f\right)$$

La generalización de la regla, sin embargo no funciona para $f\leq 0$. En mi aplicación es difícil decir cuál de los dos casos estoy trabajando, así que prefiero no necesidad de implementar esta regla generalizada para el caso de esta última, y la base de la alimentación de la regla para el primero.

Existe una regla que funciona para ambos casos?

Answer 1

Usted tiene dos objetivos contradictorios aquí. Si $y$ es arbitrario, entonces $x^y$ sólo tiene sentido positivo $x$. Imaginemos, por ejemplo, que el $y = \frac{1}{2}$. A continuación, $x^y = \sqrt{x}$ - ¿qué significa eso para el negativo $x$? Tenga en cuenta que conmutación de números complejos no ayuda mucho - los números negativos no tienen raíces cuadradas luego, pero esas son las que no es único, y lo que es peor, el número de de soluciones es altamente dependiente de $y$! E. g., $y^n = x$ $n$ soluciones en $\mathbb{C}$ , $x^\frac{1}{n}$ supone?

Así que tendrás que distinguir dos casos. Una es $f(x)^{g(x)}$ positivo $f$, y el otro es $f(x)^k$ para las constantes de$k \in \mathbb{Z}$ (es decir, no exponentes fraccionarios). Se podría generalizar el segundo caso a $f(x)^{g(x)}$ funciones $g$ que tomar sólo valores integrales, pero desde tales funciones son constantes o no continua, en ese caso no es realmente muy interesante, para los efectos de la diferenciación creo.

Por CIERTO, mucho más interesante (y tal vez solucionable!) la pregunta es cómo lidiar con no negativo $f$, que, sin embargo, puede tomar el valor cero. $f(x)^{g(x)}$ está perfectamente bien definido para aquellos, pero que aún vamos a tener problemas con el logaritmo. Ahora, en algunos casos, estos problemas son debido al hecho de que la derivada, de hecho, no existe en estos puntos. Pero no en todos los casos! Por ejemplo, $f(x) = x^2$ ha derivado $0$$x=0$. La razón es, básicamente, que desde $g$ es constante en este caso, $g' ln f$ no importa, porque $g' = 0$, y del mismo modo para $f'\frac{g}{f}$. Pero no se puede cancelar las cosas de esa manera en todos los casos que se producen respuestas equivocadas a veces, porque en realidad, depende de cómo de rápido que las cosas van a cero, respectivamente infinito.

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Usted podría preguntarse, entonces, ¿por qué la no unicidad se mencionó anteriormente no nos impide sensatez definición de $\sqrt[x]{x}$ - después de todo, $y^n = x$ tiene dos soluciones positivas $x$, incluso en \mathbb{R}$. La razón es doble

1. El número de soluciones no explotar tan mal. Tenemos una solución de $y^n = x$ por extraño $n$, y dos para, incluso,$n$.

2. Hay un orden en $\mathbb{R}$, lo que hace que la definición de $\sqrt[n]{x}$ el (único!) positivo solución de $y^n = x$ muy natural.

El efecto de (1) y (2) es, por ejemplo, que aunque no es cierto que $\sqrt[n]{x^n} = x$, podemos hacer llegar por lo menos que $\sqrt[n]{x^n} = |x|$. Tratando de hacer lo mismo con los números complejos falla horriblemente. Podríamos intentar definir $\sqrt[n]{x}$ como la solución de $y^n =x$ con el menor ángulo (suponiendo que estamos de acuerdo para medir los ángulos en sentido antihorario desde el eje real). Pero, a continuación, una $n$-ésima raíz siempre tiene un ángulo menor de $\frac{2\pi}{n}$, lo $\sqrt[n]{x^n}$ $x$ tienen muy poco en común, excepto que su $n$-ésima potencia es $x^n$.

Answer 2

Creo que el problema aquí es derivada de la confusión de la regla de logaritmo $$\ln a^r=r\ln a$$ This is only valid if we have $a>0$. Otherwise it does not hold. For example, $\ln((-1)^2)=\ln 1=0$ whereas $2\ln(-1)$ no está definido sobre los reales.

En su lugar, podemos escribir $$\ln a^r=r\ln |a|,\;\;\;a^r>0$$ So in your case, let $y=x^2$. Then $\ln y=2\ln|x|$ so $$\frac{y'}{y}={2\over x}\implies y'=\frac{2y}{x}=2x$$ as desired. This holds for all $x\ne 0$.

En general, vamos a $y=f(x)^{g(x)}$ y supongamos que $f(x)^{g(x)}>0$ está definido y positivo para todos los $x$. Luego tenemos a $$\ln y=g(x)\ln |f(x)|,\;\;\;\frac{y'}{y}=g'\ln|f(x)|+g\frac{f'}{f}$$, de modo que

$$(f^g)'=f^g\left(g'\ln|f|+f'\frac{g}{f}\right)$$ We must have $f(x)\ne 0$ como se esperaba.

NOTA: Si una función cumple el requisito de que $f^g\ge 0$ todos los $x$ en el dominio, en un anómalo punto donde f(x)=0 (tales como el origen de la parábola $y=x^2$) la derivada debe ser $0$ porque va a ser de un mínimo de la función (suponiendo que es diferenciable en todos).