Los endomorfismos preservan la medida de Haar

Question

Tengo dificultades para seguir el argumento en la página 21 de P. Walters, Introducción a la teoría ergódica, de la siguiente afirmación:

Cualquier endomorfismo continuo en un grupo compacto preserva la medida de Haar.

Obviamente, esto no es cierto tal como está afirmado, ya que el homomorfismo trivial no preserva la medida de Haar. Incluso limitándonos a homomorfismos no triviales, sigo sin poder seguir el argumento, que es el siguiente:

Sea $A : G \rightarrow G$ el endomorfismo y sea $m$ la medida de Haar. Definimos una medida de probabilidad en conjuntos de Borel $\mu(E) = m(A^{-1}(E))$. Ahora,

$$\mu(Ax.E) = m(A^{-1}(Ax.E)) = m(x.A^{-1}E) = \mu(E) .$$

Estoy de acuerdo con la primera igualdad por definición, y la última igualdad debido a que $m$ es una medida de Haar. Pero no entiendo por qué la igualdad del medio es verdadera.

Además, incluso si la dicha igualdad es verdadera, el resto de la prueba continúa de la siguiente manera: Observamos que $\mu$ es invariante bajo rotación, y usamos la unicidad de la medida de Haar para demostrar que $\mu = m$. En esto, no logro ver cómo la igualdad anterior asegura que $\mu$ es invariante bajo rotación.

Se agradecería ayuda.

Answer 1

La moraleja es que tienes que asumir la sobreyectividad de $A$.

Para la igualdad intermedia: tenemos $A^{-1}(Ax.E)=x.A^{-1}E$ como conjuntos:

$y\in A^{-1}(Ax.E)$ significa $Ay\in Ax.E$ significa $A(x^{-1}y)\in E$, mientras que

$y\in x.A^{-1}E$ significa $x^{-1}y\in A^{-1}E.

Para la invariancia a la rotación: ahora vemos que $\mu(Ax.E)=\mu(E)$ para todo $x\in G$. En otras palabras, $\mu(y.E)=\mu(E)$ para todo $y\in \text{im} A\subset G$. Por sobreyectividad tenemos que $\text{im} A=G$.