En el cálculo aprendemos sobre el método de sustitución de las integrales, pero no he podido probar que funciona. Principalmente no veo cómo se justifica la manipulación de diferenciales, es decir, cómo$dy/dx = f(x)$ significa que$dy = dx * f(x)$ so$dx * f(x)$ puede ser sustituido por$dy$, ya que pensé que% #% Es simplemente una notación y que$dy/dx$ y$dy$ realmente no existen.
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Básicamente queremos mostrar: $$\int_a^bf(y)dy=\int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)}f(g(x))g'(x)dx$$ para una estrictamente creciente función continua $g$ (si $g$ está disminuyendo, tomamos $-g$ y absorber el signo menos en el intercambio de los límites). Si $\{y_0,\ldots,y_n\}$ es una partición de $[a,b]$, $y_{j-1}\leq y_j^*\leq y_j$, a continuación, una suma de Riemann para la izquierda integral es $$\sum_{j=1}^nf(y^*_j)(y_j-y_{j-1}).$$ Poner $y_j:=g(x_j)$. Por lo $\{x_0,\ldots,x_n\}$ es una partición de a $[g^{-1}(a),g^{-1}(b)]$. Por el valor medio teorema, existe $x_j^*\in[x_{j-1},x_j]$ tal que $$g'(x_j^0)=\frac{g(x_j)-g(x_{j-1})}{x_j-x_{j-1}}\iff y_j-y_{j-1}=g'(x_j^*)(x_j-x_{j-1}).$$ Ahora, recuerde que todas las sumas de Riemann convergen a la integral (por la definición de una función que es Riemann integrable), por lo que podemos optar $y_j^*$ , de modo que $x_j^*=g^{-1}(y_j^*)$. Por lo tanto, tenemos $$\sum_{j=1}^nf(y^*_j)(y_j-y_{j-1})=\sum_{j=1}^nf(g(x_j^*)g'(x_j^*)(x_j-x_{j-1}).$$ Ahora, simplemente hemos de reconocer que el lado derecho es una suma de Riemann para el derecho integral y que $\max|y_j-y_{j-1}|\to0$$\max|x_j-x_{j-1}|\to0$.
Lo siento por esa respuesta larga - básico conclusión es que usted puede probarlo, y la notación que usamos es sólo una abreviatura. Mientras que $dy$ $dx$ no son objetos reales como señalan acertadamente, que actúan de la misma forma suficiente en un montón de maneras que a veces nos tratan como tales.
Travis Querec
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Sí, creo que fue Leibniz (?) Quien introdujo este ingenioso "dispositivo" para hacer que las sustituciones parezcan más agradables. Cuando realiza una sustitución$y=f(x)$ en un$x$ - integral y calcula$dy$ significa realmente$\displaystyle \frac{dy}{dx}\, dx$ pero se ve mejor si acaba de cancelar el% #% 'S, aunque eso no es lo que sucede.
