Calcular

Question

Tengo que calcular$$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_0^1 nx^2(1-x^2)^n \, dx

He creado la serie$(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ con$f_n:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}, f_n(x)=nx^2(1-x^2)^n$. Consideré$x\in[0,1]$ un escalar y procedo a calcular el límite$\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$, que equivale a$0, \forall x\in[0,1)$ (si no me equivoco), pero me estoy quedando atascado al calcular el límite para el Caso particular de$x=1$. ¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Enfoque alternativo: al establecer$x=\sin\theta$ tenemos

$$I(n) = \int_{0}^{1}nx^2(1-x^2)^n\,dx = n\int_{0}^{\pi/2}\sin^2(\theta)\cos^{2n+1}(\theta)\,d\theta \tag{1}$ $ Y dado que en el intervalo$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ ambos$\sin(\theta)$ y$\cos(\theta)$ son no negativos, pero$\sin(\theta)\leq\theta$ y$\cos(\theta)\leq e^{-\theta^2/2}$$$ 0\leq I(n) \leq \int_{0}^{\pi/2} n\theta^2 e^{-\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta^2}\,d\theta \leq \int_{0}^{+\infty} n\theta^2 e^{-\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta^2}\,d\theta=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{n}{(2n+1)^{3/2}}\tag{2} Y el límite deseado es cero apretando.

Answer 2

Dado que$1-x^2<e^{-x^2}$ para cada$0\leq x\leq 1$, el integrando no es negativo y está limitado por$nx^2e^{-nx^2}$. Dado que$ye^{-y}$ es una función limitada en$[0,\infty)$ y$nx^2e^{-nx^2}\to 0$ para todo$x\geq 0$, el resultado sigue del teorema de convergencia dominado.

Answer 3

Integrando por partes, $$\ int_0 ^ 1 nx ^ 2 (1-x ^ 2) ^ n \, dx = \ left [- \ frac {n} {2 (n 1)} x ) ^ {N 1} \ right] _0 ^ 1 \ frac {n} {2 (n 1)} \ int_0 ^ 1 x (1-x ^ 2) ^ {n 1} \, dx \\ = \ Frac {n} {2 (n 1)} \ int_0 ^ 1 (1-x ^ 2) ^ {n 1} \, dx$$ La fracción converge a$1/2$, por lo que ahora necesitamos Para mirar la integral restante. $(1-x^2)^{n+2} < (1-x^2)^{n+1}$, Por lo que el integrando disminuye como$n \to \infty$. Podemos utilizar el teorema de convergencia monótona o similar para mostrar que la integral tiende a cero, por lo que el límite es cero.

Answer 4

La integral puede evaluarse en forma cerrada antes de dejar$n\to \infty$. Para ello, procedemos ahora.

Haciendo cumplir la sustitución$x\to \sqrt{x}$, encontramos

$$\begin{align} \int_0^1 nx^2(1-x^2)^n\,dx&=\frac n2\int_0^1 x^{1/2}(1-x)^n\,dx\\\\ &=\frac n2 B\left(\frac32,n+1\right)\\\\ &=\frac n2 \frac{\Gamma(3/2)\Gamma(n+1)}{\Gamma(n+5/2)}\\\\ &=\frac n2 \frac{\color{blue}{\Gamma(3/2)}\color{orange}{\Gamma(n+1)}}{(n+3/2)(n+1/2)\color{red}{\Gamma(n+1/2)}}\\\\ &=\frac n2 \frac{\color{blue}{\frac{\sqrt\pi}{2}}\color{orange}{(n!)}}{(n+3/2)(n+1/2)\color{red}{\left(\frac{2^{1-2n}\sqrt\pi\,\Gamma(2n)}{\Gamma(n)}\right)}}\\\\ \therefore \int_0^1 nx^2(1-x^2)^n\,dx&=\frac{4^n\,n\,(n!)^2}{(2n+3)(2n+1)(2n)!}\\\\ &=O\left(\frac{1}{\sqrt n}\right)\,\,\,\,\dots \text{Applying Stirling's Formula} \end {align}$$

Por lo tanto, como$n\to \infty$, la integral de interés va a$0$ as$\frac1{\sqrt n}$.

Answer 5

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ $$\begin{align} \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}nx^{2}\pars{1 -x^{2}}^n\,\dd x & = \lim_{n \to \infty}\bracks{n% \int_{0}^{1}\exp\pars{2\ln\pars{x} + n\ln\pars{1 - x^{2}}}\,\dd x} \end{align}$$

El $\ds{\exp}$-argumento tiene un 'sharp máximo' en $\ds{x_{n} = \pars{n + 1}^{-1/2}}$ tal que

$$\begin{align} \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}nx^{2}\pars{1 -x^{2}}^n\,\dd x & = \lim_{n \to \infty}\bracks{\pars{n \over n + 1}^{n + 1}% \int_{0}^{\infty}\exp\pars{-\,{\bracks{x - x_{n}}^{\,2} \over 2\sigma_{n}^{2}}}\,\dd x} \end{align}$$

donde $\ds{\sigma_{n} \equiv {\root{n} \over 2\pars{n + 1}}}$.

A continuación, $$\begin{align} \lim_{n \to \infty}\int_{0}^{1}nx^{2}\pars{1 -x^{2}}^n\,\dd x & = \expo{-1}\root{\pi \over 2}\lim_{n \to \infty}\braces{% \sigma_{n}\bracks{1 + \mrm{erf}\pars{x_{n} \over \root{2}\sigma_{n}}}} \\[5mm] & = \expo{-1}\root{\pi \over 2}\bracks{1 + \mrm{erf}\pars{\root{2}}} \lim_{n \to \infty}\sigma_{n} = \bbx{0} \end{align}$$