Si se desplaza un poco hacia abajo en su página enlazada, verás una "definición moderna" dada como coeficientes que aparecen en la expansión de la serie de potencias:
$$\frac{z}{e^z-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k \frac{z^k}{k!}$$
donde los números de Bernoulli $B_k$ puede identificarse con $k^{th}$ derivadas de la función $G(z)=z/(e^z-1)$ en $z=0$ .
Esta es una construcción lo suficientemente común como para tener un nombre: $G(z)$ se dice que es el función generadora de los números de Bernoulli $B_k$ (en virtud de la expresión de la serie de potencias anterior). Obsérvese que los denominadores factoriales aparecen en virtud de tener estas derivadas repetidas en el numerador para cualquier expansión de la serie de potencias.
Naturalmente, el término "números de Bernoulli" no fue utilizado ni definido por Jakob Bernoulli, a quien conmemoramos con esta denominación. El lector interesado puede disfrutar la nota Números de Bernoulli de John C. Baez (2003) y su jocosa pero perspicaz apertura:
Se llaman números de Bernoulli porque fueron estudiados por primera vez por Johann Faulhaber en un libro publicado en 1631, y los descubrimientos matemáticos nunca llevan el nombre de las personas que los hicieron. Por ejemplo, la "compactación de Cech" fue inventada por Tychonoff, mientras que el "teorema de Tychonoff" se debe a Cech.
Honramos a Johann Faulhaber dándole su nombre La fórmula de Faulhaber por lo que las sumas de $p$ poderes de $1,\ldots,n$ se expresan como $(p+1)$ -polinomio de grado en $n$ :
$$ \begin{align*} \sum_{k=1}^n k^p &= 1^p+2^p+\ldots+n^p \\ &= \frac{1}{p+1} \sum_{j=0}^p (-1)^j \binom{p+1}{j} B_j \; n^{p+1-j} \end{align*} $$
Esta generalidad está más allá de lo que Faulhaber o Bernoulli podrían haber expresado. De hecho podemos encontrar en el libro de Faulhaber, Academia Algebrae - En ella se continúan y se aprovechan las milagrosas Invenciones al más alto Cossen (1631), una copia de la cual (en alemán) puede verse en línea simplemente las primeras diecisiete instancias de esos polinomios.
Bernoulli recita un número menor de instancias pero describe un procedimiento para generarlas recursivamente. Una traducción al inglés de su libro en latín Ars Conjectandi fue realizado por Edith Dudley Sylla, titulado El arte de la conjetura, junto con una carta a un amigo sobre los sets en el tenis de pista ( agotado pero disponible en muchas bibliotecas universitarias). Las instancias de las fórmulas de la imagen anterior aparecen en la página 215 (véase la segunda parte) de esta traducción al inglés, tras la discusión del trabajo anterior de Faulhaber y el procedimiento para generarlas.
Para más información, consulte los artículos de Wikipedia sobre funciones generadoras y en Números de Bernoulli así como este otro más antiguo Pregunta de Math.SE .
Obsérvese que el nombre de números de Bernoulli también se utilizó para $B_k^*$ una secuencia relacionada pero diferente en la literatura más antigua, como explica el artículo de Wolfram MathWorld aunque hay que desplazarse bastante hacia abajo en la página (hasta la ecuación (52)) para ver los detalles. Estos incluyen un factor $(2k)!$ en lugar de $k!$ por lo que es una "normalización" alternativa para los coeficientes.
