El jacobiano de (f,g) es idénticamente cero si y sólo si f = h ∘ g?

Question

Supongamos que tenemos funciones suaves $f,g : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ . Me pregunto si la siguiente conjetura es cierta:

Conjetura : El determinante jacobiano $\left|\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)}\right|$ es cero en todas partes si y sólo si existe una función $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f \equiv h\circ g$ .

Esta dirección $(\Leftarrow)$ es fácil utilizando la regla de la cadena. Me pregunto si la dirección inversa $(\Rightarrow)$ también aguanta. No estoy seguro de cómo proceder, pero observo que una consecuencia inmediata de que el jacobiano sea cero en todas partes es que los gradientes de $f$ y $g$ son paralelas en todas partes:

$$\nabla f = \alpha(u,v) \nabla g.$$

Parece deducirse que las curvas de nivel de $f$ y $g$ también son paralelas. Así que, intuitivamente, para hacer coincidir f y g, tal vez sea posible simplemente escalar $f$ en una cantidad que depende del valor de $g$ en el punto (es decir, el valor de la curva de nivel que pasa por el punto). Esto significaría que existe una función $h$ tal que f = h g?

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Actualización: Me gustaría actualizar la conjetura para excluir razones triviales para que el determinante se desvanezca, por ejemplo, porque exactamente uno de $f$ o $g$ es constante. Más adelante, también puede ser ventajoso excluir casos como $f_v = g_v = 0$ .

Conjetura (revisada) : Sea $f,g:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$ sean funciones suaves, y además supongamos que los gradientes de $f$ y $g$ existen en todas partes. El determinante jacobiano $\left|\frac{\partial(f,g)}{\partial(u,v)}\right|$ es cero en todas partes si y sólo si existe una función $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $f \equiv h\circ g$ .

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Esto es lo que he probado hasta ahora. Debido a que las derivadas parciales de $f$ y $g$ son distintos de cero en todas partes, su gradiente está bien definido en todas partes y, por tanto, en cada punto el espacio de vectores $\vec{n}$ tal que la derivada parcial de $f$ y $g$ en la dirección $\vec{n}$ es unidimensional. Como el determinante jacobiano desaparece en todas partes, los gradientes de $f$ y $g$ son paralelas, y por tanto $f$ y $g$ son localmente constantes en la misma dirección en cada punto. Esto sugiere que las curvas de nivel de $f$ y $g$ coinciden en todas partes; es decir, para cada punto $\vec{p}\in \mathbb{R}^2$ ,

$$f^{-1}(f(\{\vec{p}\})) = g^{-1}(g(\{\vec{p}\}))$$

Por lo tanto, si me das el valor de $q = g(\vec{p})$ debería ser capaz de encontrar el valor $r = f(\vec{p})$ sin saber $\vec{p}$ los conjuntos de niveles coinciden. La existencia de una función $h: q \mapsto r$ establecería la prueba.

Más formalmente, dejemos que $L_f$ sea la colección de conjuntos de niveles de $f$ es decir $L_f \equiv \{ f^{-1}(f(p)) : p \in \mathbb{R}^2\}$ y que $L_g$ sean los conjuntos de niveles de $g$ . Evidentemente, hay mapas $C_f : L_f \rightarrow \mathbb{R}$ y $C_g : L_g \rightarrow \mathbb{R}$ enviando cada nivel ajustado a su valor correspondiente en $\mathbb{R}$ .

Lo especial es que si afirmamos que los conjuntos de niveles son iguales, entonces existe un isomorfismo $s : L_f \leftrightarrow L_g$ . En ese caso, nuestra función deseada es

$$h \equiv C_f \circ s^{-1}\circ C_g^{-1}$$

Esta es una definición correcta porque tenemos:

\begin{align*} p\in \mathbb{R}^2 &\quad \text{a point in }\mathbb{R}^2\\ g(p) &\quad \text{its image under $g$}\\ C_g^{-1}(g(p)) &\quad \text{the level set in $\mathbb{R}^2$ corresponding to $g(p)$}\\ s^{-1}C_g^{-1}(g(p)) &\quad \text{that same level set viewed as a level set of $f$}\\ C_f s^{-1}C_g^{-1}(g(p)) &\quad \text{the value corresponding to that $f$ level set}\\ = f(p) & \quad\text{as demonstrated here}\\ = (h)(g(p)) &\quad\text{definition of $h$}\\ \end{align*}

Lo único que me queda por saber es si podemos confirmar que los conjuntos de niveles son todos iguales con las suposiciones que hemos hecho.

Answer 1

Se trata de un teorema que aparece en muchos textos de Cálculo Avanzado. Pero no he encontrado ninguna demostración en Internet. Wikipedia trata la "dependencia funcional" de una manera puramente semántica.

Supongamos que ambos $f$ y $g$ se definen en una vecindad $U$ de $(0,0)\in{\mathbb R}^2$ y que $$g(0,0)=0 , \qquad g_{.2}(0,0)\ne0\ .$$

Reclamación. Si $$\nabla f(x,y)\wedge \nabla g(x,y)=0\qquad\forall (x,y)\in U\tag{1}$$ entonces hay un $C^1$ -función $t\mapsto h(t)$ definido en una vecindad de $t=0$ tal que $$f(x,y)=h\bigl(g(x,y)\bigr)\qquad\forall\ (x,y)\in U\ .$$ Prueba. Consideremos la función auxiliar $$F(x,y,t):=g(x,y)-t\ .$$ En $F(0,0,0)=0$ y $F_y(0,0,0)=g_{.2}(0,0)\ne0$ el teorema de la función implícita permite resolver $F(x,y,t)=0$ en un barrio de $(0,0,0)$ para la variable $y$ : Hay un $C^1$ -función $\psi$ definido en una vecindad de $(0,0)$ tal que $g(x,y)=t$ es equivalente a $y=\psi(x,t)$ . De ello se deduce que $g\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\equiv t$ de modo que $$g_{.1}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)+g_{.2}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\psi_x(x,t)\equiv0\ ,$$ o $$\psi_x(x,t)=-{g_{.1}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\over g_{.2}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)}\ .\tag{2}$$ Ahora defina $$\tilde h(x,t):=f\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\ .\tag{3}$$ Afirmo que la dependencia de $\tilde h$ en $x$ es sólo aparente. Para demostrarlo, calcula $$\tilde h_x=f_{.1}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)+f_{.2}\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\psi_x(x,t)\equiv0\ ,$$ utilizando $(2)$ y $(1)$ . Por lo tanto, podemos sustituir $(3)$ por $$h(t):=f\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)\ .\tag{4}$$ Consideremos ahora un punto arbitrario $(x,y)\in U$ y poner $g(x,y)=:t$ . Entonces $y=\psi(x,t)$ y $(4)$ da $$f(x,y)=f\bigl(x,\psi(x,t)\bigr)=h(t)=h\bigl(g(x,y)\bigr)\ .\qquad\qquad\square$$