Ejemplo donde$H_1 (X, A) \not\cong H_1 (X / A)$

Question

Estoy tratando de obtener una mejor comprensión de la homología relativa, y tengo dificultades para visualizar la distinción entre$H_1(X,A)$ y$H_1(X/A)$. Supongo que no hay manera de que sean iguales (de lo contrario, ¿por qué incluso definir$H(X,A)$), pero no puedo llegar a un ejemplo.

Answer 1

Permitir$X=S^1$ y dejar$A=S^1\setminus\{p\}$ para algún punto$p\in S^1$. Entonces$A$ es contractible, así que$H_1(X,A)\cong H_1(X)\cong\mathbb{Z}$. Sin embargo, el espacio de cociente$X/A$ tiene sólo dos puntos, y de hecho es contractible (que es un buen ejercicio). Así que$H_1(X/A)$ es trivial.