Resolver una PDE no lineal de primer orden, o simplemente encontrar un residuo de la solución

Question

En el proceso de resolución de un problema combinatorio en mi investigación, me encontré con fórmula recursiva, y ha reunido a las dos de la variable de generación de función para que el rescursion es codificada por el PDE: $$ x\frac{\partial}{\partial x} f(x,y)^2) = \frac{\partial}{\partial y} f(x,y) $$ con condición inicial $f(x,0) = x + x^{-1}$.

En realidad, no necesito la solución a todo $f$, solo me falta el residuo alrededor de $x=0$, es decir, la función de $y$ que es el coeficiente de $x^{-1}$ en el de Laurent de expansión.

Yo no sé mucho acerca de ecuaciones en derivadas parciales, así que ni siquiera estoy seguro de por dónde empezar, o si esta es una buena manera de resolverlo.

Yo estoy esperando para probar que el residuo es algo como $$ \sum_n \frac{4^n}{(n+1)!n!} y^{2n} $$

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero puede conducir a usted o a alguien más para encontrar una solución completa. Sólo pensé que era demasiado largo para un comentario.

Vamos a ver si podemos hacer algunos progresos en la búsqueda de una solución a

$$ F = 2 xp f - q = 0$$

donde$p = f_x$$q = f_y$. Este quasilinear PDE deben ser resueltos junto con los $f(x,0) = x + 1/x$. Si nos parametrizar esta como $x = x_o(s) = s$, $y = y_o(s) = 0$ y $f = f_o(s) = s+1/s$, entonces la solución a la de Lagrange-Charpit relaciones,

\begin{align*} \mathrm{d}x/\mathrm{d}t & = 2 x f \\ \mathrm{d}y/\mathrm{d}t & = -1 \\ \mathrm{d}f/\mathrm{d}t & = 0, \end{align*} está dada por

$$\log(x/s) = 2 \, ( s + 1/s) \, t, \quad y = -t, \quad f = s + 1/s $$

Ahora, para expresar $f = f(x,y)$, uno puede eliminar el $s$ $t$ a partir de las expresiones para $x(s,t)$$y(s,t)$, pero, como se puede ver, esto es muy difícil, ya que implica la solución de algunos feo aspecto trascendental de la ecuación.

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También se podría trabajar con

$$ \frac{\mathrm{d}x}{2xf} = \frac{\mathrm{d}y}{-1} = \frac{\mathrm{d}f}{0} $$

y tratar de resolverlo a través de características. Pero, estoy dim-witted cuando se trata de la aplicación de la condición inicial. De hecho, a partir de la última relaciones obtenemos $f = c_1$$\log{x} + 2 c_1 y = c_2$. Pon ahora $c_2$ como una función de la $c_1$ y obtenemos la solución en la forma implícita:

$$ \log{x} + 2 y f = G(f) $$

donde $G$ es una función arbitraria de su argumento. Imponiendo la condición inicial de que uno se:

$$ \log{x} + 0 = G(x+1/x)$$

definir la variable ficticia $\sigma = x+1/x \implies x = \frac{1}{2} \left( \sigma \pm \sqrt{\sigma^2 - 4} \right)$ para que uno llega a la conclusión de que la solución está implícitamente da por

$$ \log{x} + 2y f = \log\left[\frac{1}{2} \left( f \pm \sqrt{f^2 - 4} \right)\right] $$

o, alternativamente

$$ 2 x \exp(2y f) = f \pm \sqrt{f^2-4} $$

Esto le da el valor de la(s) $f$ por cada $x$$y$, pero no sé si se puede extraer nada práctico a partir de ella. Edit: acabo de comprobar en Mathematica que la solución anterior es de hecho correcta.

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Espero que alguien pueda tomar desde aquí, o es de ninguna ayuda para usted.