¿Por qué la curvatura de Berry es impar bajo la inversión del tiempo?

Question

La pregunta es: ¿Por qué el Curvatura de las bayas definido como $$\mathcal{F}=-\mathrm i\, \epsilon_{ij}\, \left\langle\partial_{ki}u_{n}(k)\mid \partial_{kj}u_{n}(k) \right\rangle ,$$ ¿impar si aplico la inversión del tiempo? Según tengo entendido, el operador de inversión del tiempo sería simplemente $\mathcal{T}=K$ el operador de conjugación compleja. No consigo ver por qué la curvatura de Berry es impar bajo la inversión del tiempo en un sistema invariante de la inversión del tiempo.

Answer 1

Esto es más fácil de ver si escribimos explícitamente las funciones de onda. Tenemos que la curvatura de Berry viene dada por

$$ -i\epsilon_{ij}\int dr \frac{\partial}{\partial k_i}u^*(k,r)\frac{\partial}{\partial k_j}u(k,r) $$

Aquí, $r$ representa todos los grados de libertad de posición, y $k$ es sólo una etiqueta que indexa nuestras funciones de onda. Bajo la inversión del tiempo, la función de onda es enviada a su conjugado complejo, por lo que la Curvatura de Berry es

$$ -i\epsilon_{ij}\int dr \frac{\partial}{\partial k_i}u(k,r)\frac{\partial}{\partial k_j}u^*(k,r) $$

Esto es idéntico a la expresión original, excepto que con $i$ y $j$ cambiada. Desde $\epsilon_{ij}$ es antisimétrico, esto equivale a un signo negativo global. Por lo tanto, la Curvatura de Berry es tiempo-impar.

Como apunte: dado que la Curvatura de Berry integrada sobre la zona de Brillouin da el número de modos de borde en sentido contrario a las agujas del reloj, esta cantidad debe ser impar. ¡Después de todo, 10 modos de borde en sentido contrario a las agujas del reloj se convierten en 10 modos de borde en sentido de las agujas del reloj (o -10 modos de borde en sentido contrario a las agujas del reloj) bajo la inversión del tiempo!