Difícil la desigualdad en las normas de los vectores

Question

Deje $v_0=(v_{0x},0),v_1=(v1x,0),w_0=r_0e^{i\theta_0},w_1=r_1e^{i\theta_1}\in \mathbb{R}^2$ ser cualquiera de los cuatro vectores no nulos tales que:

• $v_{0x}>0$ $v_{1x}>0$
• $0<\theta_0<\pi$ $0<\theta_1<\pi$
• las siguientes desigualdades son satisfechos: $$\displaystyle{\frac{||v_1||}{||v_0||}> \frac{||w_1||}{||w_0||}}\quad \textit{and }\frac{||v_1||}{||v_0||}> \frac{||v_1+w_1||}{||v_0+w_0||}$$

Ahora definir, para cada $t\in [0,1]$, los siguientes vectores:

$$\displaystyle{v_t=((1-t)v_{0x}+tv_{1x},0)}$$

$$\displaystyle{w_t=(r_0(1-t)+tr_1)e^{i((1-t)\theta_0+t\theta_1)}}$$

Es la siguiente desigualdad

$$\displaystyle{\frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}\ge \frac{||v_{t_1}+w_{t_1}||}{||v_{t_0}+w_{t_0}||}}$$

verificado para cada $t_0,t_1\in [0,1],t_0<t_1$?

Si la respuesta es no, estoy buscando a condiciones adicionales $v_1,v_2,w_1,w_2$, con lo cual se garantiza que esta desigualdad siempre se verifica.

---

Mi intento: he probado muchos ejemplos sin findind un contraejemplo. Pero no pude encontrar un general de la prueba.

Answer 1

La declaración (de la pregunta original) no es cierto. Tomar $v_1=e^{2\pi i/3}=(-1/2,\sqrt{3}/2)$, $v_2=e^{4\pi i/3}=(-1/2,-\sqrt{3}/2)$, $w_0=w_1=(1,0)=e^0$.

Entonces

• $v_1$ $w_1$ son linealmente independientes
• $v_2$ $w_2$ son linealmente independientes
• las siguientes desigualdades son satisfechos: $$\displaystyle{\frac{||v_2||}{||v_1||}=1\ge 1= \frac{||w_2||}{||w_1||}}\quad \text{and}\quad \frac{||v_2||}{||v_1||}=1\ge 1=\frac{||v_2+w_2||}{||v_1+w_1||}$$

Para todos los $t$,$w_t=(1,0)$. Para $t=1/4$ tenemos $v_t=e^{i((1-t)2\pi/3+t4\pi/3)}=e^{5\pi/6}=(-\sqrt{3}/2,1/2)$. Por lo tanto $v_t+w_t=(1-\sqrt{3}/2,1/2)$$\|v_t+w_t\|=\sqrt{2-\sqrt{3}}<1$. Set$t_1=1$$t_0=1/4$. Entonces $$ \frac{||v_{t_1}||}{||v_{t_0}||}=1<\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}=\frac{||v_{t_1}+w_{t_1}||}{||v_{t_0}+w_{t_0}||} $$

Yo no veo ninguna de las condiciones se puede poner en los $v_1,v_2,w_1,w_2$ de manera tal que la desigualdad se cumple. Yo lo que hice fue encontrar los vectores tales que tenéis la igualdad de la $t=0$$t=1$. A continuación, debe haber un valor intermedio donde su desigualdad falla.