Alicatar un suelo con cuadrados

Question

Tengo una habitación rectangular que tiene baldosas de linóleo cuadradas. Cuando se colocaron las baldosas, el contratista dijo que se necesitaría el doble de cortes para tener las baldosas en un ángulo de 45 grados con respecto a las paredes que para tenerlas perpendiculares a las mismas.

Aunque el contratista probablemente sólo quería decir que se necesitaría bastante más, y no exactamente el doble de cortes, me puse a pensar en cuántos cortes se necesitarían para alicatar una habitación rectangular con los dos patrones. Para formalizar un poco esto diremos que todos los cortes deben ser líneas rectas que empiezan y terminan fuera de la baldosa que estamos cortando. También podemos reutilizar los restos creados al cortar las baldosas (pero no podemos volver a coser las baldosas), por ejemplo, si necesitamos dos medias baldosas podemos utilizar un solo corte una baldosa.

Hay algunas habitaciones que llevan 0 cortes para ser alicatadas por patrón $a$ , en particular las habitaciones con longitudes de lado enteras (estamos considerando que las baldosas son $1\times 1$ ). En estas salas es claramente una buena idea utilizar el Patrón $a$ sobre Patrón $b$ .

Sin embargo, si las dos longitudes laterales de la habitación (las llamaremos $n$ y $m$ ) son múltiplos de $\sqrt{2}$ podemos alicatar la habitación con un patrón $b$ haciendo sólo $\dfrac{n+m}{\sqrt{2}}$ cortes. (para esto podemos cortar $n+m$ azulejos a lo largo de las diagonales y utilizar los medios azulejos a lo largo de los bordes). Lo mejor que parece que se puede conseguir en esta situación utilizando el patrón $b$ parece que es $\lceil n\rceil+\lceil m\rceil$ (corregidme si me equivoco).

Dada una habitación general, ¿es posible averiguar qué método de alicatado nos exigirá hacer menos cortes?

Answer 1

En una situación idealizada $n\times m$ habitación usando $1\times 1$ baldosas que se necesitarían $0$ cortes para colocar azulejos patrón rectilíneo.

En una situación idealizada $\sqrt2n \times \sqrt 2 m$ habitación, tomará $n+m$ cortes para colocar baldosas en la 45.

Sin embargo, las habitaciones nunca son ideales. Con el patrón rectilíneo, sólo es necesario cortar azulejos a lo largo de dos paredes

Con el patrón 45 debes cortar azulejos a lo largo de 4 paredes.

Cuando pueda cortar los azulejos exactamente por la mitad, podrá alicatar esa pared con menos azulejos, ya que cada diagonal es $\sqrt 2$ unidades de longitud. Pero en la pared opuesta, se necesita el doble de azulejos, y cada pieza de azulejo es en promedio $\frac {\sqrt2}{2}$ unidades de longitud.

Muchos de los adornos no son reutilizables. Mirando tu patrón cuando cortas con una pieza grande y otra pequeña, sigues usando la pieza grande de una baldosa de color y la pequeña de la otra.

Si las baldosas tienen una coloración uniforme, puede reutilizar más recortes.

Al juntar todo esto, el doble parece ser algo más que una regla general. Se necesitarían algunas coincidencias interesantes para estar demasiado lejos de eso.