Deje $p$ ser una de las primeras y deje $d$ ser un entero positivo. No siempre existe una irreductible (es decir, unfactorable) polinomio de grado $d$$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$?
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Watson
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Esta es una buena pregunta, porque no es obvio que la respuesta es sí. Esto está mal si la misma pregunta con $\Bbb R$ en lugar de $\Bbb F_p := \Bbb Z/p\Bbb Z$, porque polinomios irreducibles sobre $\Bbb R$ tienen un grado $≤2$.
Aquí es un teórico manera de ver la existencia de un polinomio irreducible de grado $d$. Considere la posibilidad de una clausura algebraica $K$ $\Bbb F_p$ . El conjunto de las raíces de la $f(X)=X^{p^d}-X$$K$, es decir, $$E = \{x \in K \mid x^{p^d}=x \}$$ pasa a ser un campo de$^{(1)}$, que es una extensión de $\Bbb F_p$. Su cardinalidad es exactamente $p^d$, debido a $f$ no tiene múltiples raíces (por ejemplo, $(f,f')=(X^{p^d}-X,-1)=1$).
El grupo multiplicativo $E^*$ del campo finito $E$ es cíclico, generados por $a$, dicen. Considere el polinomio mínimo de a$a$$\Bbb F_p$. Desde $K = \Bbb F_p(a)$, tiene un grado de $d$, debido a la dimensión de $K$$\Bbb F_p$$d$, desde $|K|=p^d=p^{\text{dim }_{{\;\Bbb F}_p}(K)}$. Por último, ser un mínimo polinomio es irreducible. QED. $\qquad\blacksquare$
$^{(1)}$Claramente, $0,1 \in E$. Si $0 ≠ x \in E$,$x^{-1} \in E$. Si $x,y \in E$$xy \in E$. El único punto difícil es entender por qué $x,y \in E$$x+y \in E$. Esto es debido a que $(x+y)^{p}=x^p+y^p$ tiene! En realidad, el uso de Newton de la fórmula binominal, y todos los coeficientes binomiales se desvanecen ($p$ ser un número primo), pero el primero y el último – ver Frobenius' endomorfismo. Por lo tanto,$(x+y)^{p^d}=((((x+y)^{p})^{p})^{\ldots})^p=x^{p^d}+y^{p^d}$, por lo que el $(x+y)^{p^d}=x+y$ que $x^{p^d}=x$$y^{p^d}=y$.
