¿Por qué Euler fórmula tiene que ser $e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

Question

En la primera parte de este video de youtube uploader va a explicar el cálculo de la prueba para que la Fórmula de Euler.

La Fórmula $$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$ Diferenciar $$ie^{ix} = f'(x) + i g'(x)$$ Multiplicar la fórmula original por $i$ $$ie^{ix} = if(x) - g(x)$$ Equiparar la diferenciación y la multiplicación de la versión $$f'(x) + ig'(x) = if(x) - g(x)$$ Equiparar real y lo imaginario (y cancelar la i) $$f'(x) = -g(x) \qquad g'(x) = f(x)$$

A continuación se va a explicar a $f(x) = \cos(x)$$g(x) = \sin(x)$. Mi pregunta es ¿por qué no $f(x) = \sin(x)$$g(x) = -\cos(x)$? Puede una prueba más de ser añadido a esta prueba a eliminar la $f(x) = \sin(x)$$g(x) = -\cos(x)$?

Answer 1

Porque sabemos que la condición inicial $e^{i0}=1$ mantiene. Como con la mayoría de las ecuaciones diferenciales, hay una familia de respuestas que usted necesita para utilizar la condición inicial para encontrar la correcta.